Água deve ser retirada de um reservatório de água de 8 m de altura perfurando um orifício de 2,2 c m de diâmetro na superfície inferior. Desprezando o efeito do fator de correção da energia cinética e considerando a tabela de K dos slides, determine a vazão da água através do orifício se:
A entrada do orifício for bem arredondada ( r / D \geq 0,15 ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a vazão de água que sai por um orifício na base de um reservatório de altura \;8\\ \mathrm{m}\;. As informações relevantes são:
  • Altura do nível livre até o orifício: \;h=8\\ \mathrm{m}\;.
  • Diâmetro do orifício: \;D=2{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}022\\ \mathrm{m}\;.
  • A entrada do orifício é bem arredondada ( r/D\ge 0{,}15), portanto usamos o coeficiente de perda de entrada da tabela: \;K=0{,}04\; (valor retirado da tabela de K para entradas bem arredondadas).
  • Despreza-se o efeito do fator de correção da energia cinética (isto é, adotamos \alpha=1).
  • Objetivo: encontrar a vazão volumétrica \;Q\; (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} ou \mathrm{L}/\mathrm{s}).

Passo 2

Modelo físico e hipóteses úteis (explicação didática):
  • O reservatório tem seção muito maior que a do orifício, então a velocidade do fluido na superfície livre é desprezível ( v_1\approx 0).
  • Aplicamos Bernoulli entre o ponto na superfície livre (1) e o ponto dentro do jato imediatamente após a entrada (2), incluindo a perda localizada de entrada h_L expressa por um coeficiente K: \;h_L=K\frac{v^2}{2g}, onde v é a velocidade do jato no orifício.
  • Física simples: a diferença de carga entre superfície e saída converte-se em energia cinética do jato e em perdas locais por entrada.

Passo 3

Escrevendo Bernoulli (com pressões atmosféricas iguais que se cancelam e com \alpha=1):
z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{v^2}{2g} + h_L.
Como v_1\approx 0, z_1-z_2=h. E h_L=K\frac{v^2}{2g}. Substituindo:
h = \frac{v^2}{2g} + K\frac{v^2}{2g} = (1+K)\frac{v^2}{2g}.
Isolando v:
v = \sqrt{\frac{2gh}{1+K}}.
Aqui:
  • \;g\; é a aceleração da gravidade ( \;9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\;),
  • \;h\; é a cabeça (altura) disponível ( \;8\\ \mathrm{m}\;),
  • \;K\; é o coeficiente de perda por entrada ( \;0{,}04\;),
  • \;v\; é a velocidade média do jato na seção do orifício.

Passo 4

Calcule a velocidade numérica passo a passo:
2gh = 2\cdot 9{,}81\cdot 8 = 156{,}96.
\frac{2gh}{1+K}=\frac{156{,}96}{1+0{,}04}=\frac{156{,}96}{1{,}04}=150{,}9230769\ldots
v=\sqrt{150{,}9230769\ldots}\approx 12{,}28\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora calcule a área do orifício:
A=\frac{\pi D^2}{4},\qquad D=0{,}022\\ \mathrm{m}.
D^2=(0{,}022)^2=0{,}000484\\ \mathrm{m^2}.
A=\frac{\pi\cdot 0{,}000484}{4}\approx 0{,}00037994\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Calcule a vazão volumétrica \;Q=A\cdot v\;:
Q = 0{,}00037994\cdot 12{,}28 \approx 0{,}004667\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para litros por segundo ( 1\\ \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}):
Q \approx 4{,}67\\ \mathrm{L/s}.

Passo 7

Comentário prático e incentivo rápido:
  • Resultado obtido considera a perda de entrada via K=0{,}04. Se a entrada fosse afiada (não arredondada) o K seria muito maior (ex.: K\approx 0{,}5) e a vazão cairia bastante.
  • Você conseguiu! O procedimento padrão é: escrever Bernoulli, identificar perdas localizadas, isolar v e multiplicar por A. Dá pra fazer isso na prova com calma.

Resposta

\;Q=0{,}00467\\ \mathrm{m^3/s}
\;Q\approx 4{,}67\\ \mathrm{L/s}

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