Água deve ser retirada de um reservatório de água de 8 m de altura perfurando um orifício de 2,2 cm de diâmetro na superfície inferior. Desprezando o efeito do fator de correção da energia cinética e considerando a tabela de K dos slides, determine a vazão da água através do orifício se:
A entrada tiver bordas-vivas.

Passo 1

O enunciado pede a vazão de água que sai por um orifício no fundo de um reservatório de altura 8\\ \mathrm{m}. Dados fornecidos:
  • Altura do nível de água: h=8\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do orifício: d=2{,}2\\ \mathrm{cm}=0{,}022\\ \mathrm{m}.
  • Desprezar o efeito do fator de correção da energia cinética (ou seja, assumir \alpha\approx1).
  • Usar a tabela de K dos slides; para entrada com bordas-vivas (sharp-edged entrance) pega-se K=0{,}5 (valor obtido da tabela).
  • A saída do orifício é para a atmosfera (mesma pressão que a superfície livre), e a velocidade do fluido na superfície livre é desprezível em comparação com a velocidade de saída.
O que se pede: calcular a vazão Q (em \mathrm{m^3/s}, e pode-se também apresentar em \mathrm{L/s}).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação prática e a fórmula chave).
Quando há perda localizada na passagem do fluido (aqui: entrada com bordas-vivas) usa-se a equação de Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e a saída do orifício (ponto 2), adicionando uma perda localizada h_{\ell} expressa como
h_{\ell}=K\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • K é o coeficiente adimensional da perda localizada (pegado da tabela: K=0{,}5 para entrada com bordas-vivas);
  • V é a velocidade no trecho onde ocorre a perda (aqui a velocidade de saída);
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Aplicando Bernoulli entre a superfície livre (pressão atmosférica, velocidade praticamente zero, cota z=h) e a saída (também pressão atmosférica, cota z=0, velocidade V), e incluindo a perda h_{\ell}, obtemos:
\underbrace{0}_{\text{vel. superf.}}+\underbrace{h}_{\text{cota}}=\underbrace{\frac{V^2}{2g}}_{\text{energia cinética}}+\underbrace{K\frac{V^2}{2g}}_{\text{perda}},é
ou seja
h=(1+K)\frac{V^2}{2g}.
Isolando V temos a fórmula para a velocidade de saída:
V=\sqrt{\dfrac{2g\,h}{1+K}}.
A vazão Q é então
Q=A\,V,
onde A é a área do orifício.
Observação: desprezamos correções de energia cinética ( \alpha=1) e assumimos que a perda localizada é adequadamente representada por K da tabela (pegamos K=0{,}5).

Passo 3

Calcular a área do orifício.
O raio do orifício é r=\dfrac{d}{2}=0{,}011\\ \mathrm{m}. A área circular é
A=\pi r^2=\pi(0{,}011)^2.
Calculando:
(0{,}011)^2=0{,}000121,
A=\pi\times0{,}000121\approx0{,}00038013\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcular a velocidade de saída usando \;V=\sqrt{\dfrac{2g\,h}{1+K}}.
Substituindo g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, h=8\\ \mathrm{m} e K=0{,}5:
V=\sqrt{\dfrac{2\cdot9{,}81\cdot8}{1+0{,}5}}=\sqrt{\dfrac{156{,}96}{1{,}5}}=\sqrt{104{,}64}\approx10{,}23\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a vazão Q=A\,V.
Usando A\approx0{,}00038013\\ \mathrm{m^2} e V\approx10{,}23\\ \mathrm{m/s}:
Q=0{,}00038013\times10{,}23\approx0{,}003887\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q\approx3{,}887\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

Q\approx3{,}89\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}=3{,}89\\ \mathrm{L/s}

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