Problema 02

A equação da quantidade do movimento no eixo x para um escoamento incompressível é dada a seguir.
\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)+\rho g_{x}
Considere um escoamento sobre uma placa plana, em regime transiente. A velocidade de corrente livre do escoamento é V, o comprimento da placa é L, e a pressão do fluido na corrente livre é p_{\infty}. Mantendo as condições de regime transiente, adotar considerações e adimensionalisar a equação acima. Identificar o número ou números adimensionais que aparecem na equação adimensionalizada.
Dica: Faça primeiro as simplificações e depois proceda a adimensionalisar a equação como foi realizado em sala de aula. Para o tempo característico utilizar t_{\text {flow }}=L / V.

Passo 1

O enunciado fornece a equação da quantidade de movimento no eixo x para escoamento incompressível:
\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)+\rho g_{x}
Informações do enunciado e o que se pede:
  • Velocidade da corrente livre: V.
  • Comprimento da placa plana: L.
  • Pressão na corrente livre: p_{\infty}.
  • Regime transiente (usar t_{\text{flow}}=L/V como escala de tempo).
  • Pedem: adimensionalizar a equação (mantendo o caráter transiente) e identificar os números adimensionais que aparecem.
    Observações que já podemos anotar (sem ainda desenvolver cálculos):
  • Podemos usar uma escala de velocidade V, comprimento L e tempo t_{\text{flow}}=L/V.
  • A pressão na corrente livre p_{\infty} nos permite escalar a pressão por \rho V^{2}.
  • Para o escoamento sobre placa plana normalmente se considera que a pressão na direção x na corrente livre é constante (logo, \partial p/\partial x pode ser pequeno dentro da camada-limite); isso será discutido nas simplificações seguintes.

Passo 2

Simplificações físicas-usuais para escoamento sobre placa plana (explicar porquê antes de adimensionalizar):
  1. Pressão externa constante: o escoamento externo sobre placa plana não impõe gradiente de pressão ao longo da placa, então toma-se \partial p/\partial x\approx0 dentro da camada-limite (isso é a hipótese clássica de fluxo sobre placa sem gradiente de pressão externo). Mantemos, porém, a forma geral da adimensionalização para mostrar onde o termo de pressão aparece; depois aplicamos \partial p/\partial x\approx0 se desejado.
  2. Força de corpo: se a gravidade não tiver componente na direção x (placa horizontal) então g_x\approx0. Caso contrário, o termo aparece multiplicado por um parâmetro adimensional. Vamos manter g_x na adimensionalização e mostrar o parâmetro resultante.
  3. Aproximação de camada-limite (opcional, explicada depois): em camada-limite as variações em y são muito maiores que em x, fazendo com que \partial^{2}u/\partial y^{2} seja o termo viscoso dominante. Essa é uma simplificação posterior — primeiro fazemos a adimensionalização geral e então mostramos a forma reduzida sob hipóteses de camada-limite.

Passo 3

Definições de escalas (explicar o porquê de cada escolha):
  • Escalas geométricas e de velocidade:
    • x^{*}=\dfrac{x}{L},\quad y^{*}=\dfrac{y}{L},\quad z^{*}=\dfrac{z}{L}.
    • u^{*}=\dfrac{u}{V},\quad v^{*}=\dfrac{v}{V},\quad w^{*}=\dfrac{w}{V}.
      Justificativa: L e V são as escalas naturais fornecidas no enunciado (comprimento da placa e velocidade da corrente livre).
  • Escala de tempo (dada no enunciado):
    • t^{*}=\dfrac{t}{t_{\text{flow}}}=\dfrac{t}{L/V}=\dfrac{Vt}{L}.
      Com isto \dfrac{\partial}{\partial t}=\dfrac{V}{L}\dfrac{\partial}{\partial t^{*}}.
  • Escala de pressão: aproveitamos p_{\infty} e escalamos as flutuações dinâmicas por \rho V^{2}:
    • p^{*}=\dfrac{p-p_{\infty}}{\rho V^{2}}.
      Isto faz com que um gradiente de pressão dinâmico típico seja da ordem \rho V^{2}/L.
  • Notas: todas as variáveis adimensionais (com superscrito *) são da ordem da unidade no campo externo (por exemplo u^*\sim 1 fora da camada-limite).

Passo 4

Derivadas em termos das variáveis adimensionais (mostrar cálculo detalhado):
  • Tempo: \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial (V u^{*})}{\partial t} = V \frac{\partial u^{*}}{\partial t} = V \frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}}\frac{\partial t^{*}}{\partial t} = V \frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}}\cdot\frac{V}{L} = \frac{V^{2}}{L}\frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}}.
  • Derivadas espaciais de primeira ordem: \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (V u^{*})}{\partial x} = V\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}}\frac{\partial x^{*}}{\partial x} = V\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}}\cdot\frac{1}{L} = \frac{V}{L}\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}}.Mesma forma para \partial/\partial y e \partial/\partial z.
  • Derivadas espaciais de segunda ordem: \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = V \frac{1}{L^{2}} \frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial x^{*2}},já que u=V u^{*} e cada derivada em x traz um fator 1/L. (Idêntico para y e z.)
  • Gradiente de pressão: \frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(p_{\infty}+\rho V^{2} p^{*}\right) = \rho V^{2}\frac{1}{L}\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}} = \frac{\rho V^{2}}{L}\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}}.

Passo 5

Substituição na equação e fator comum (passo algébrico):
Substituindo cada termo na equação original e dividindo toda a equação pelo fator \dfrac{\rho V^{2}}{L} (que é a escala típica da força inercial por unidade de volume), obtemos:
\frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}} + u^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}} + v^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial y^{*}} + w^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial z^{*}} = -\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}} + \underbrace{\frac{\mu/(L^{2})\;V}{\rho V^{2}/L}}_{=\;1/\mathrm{Re}}\left(\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial x^{*2}}+\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial y^{*2}}+\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial z^{*2}}\right) + \frac{\rho g_{x}}{\rho V^{2}/L}.
Agora simplificamos os coeficientes:
  • Definimos o número de Reynolds \mathrm{Re}=\frac{\rho V L}{\mu}.Assim o termo viscoso fica \dfrac{1}{\mathrm{Re}}\left(\partial^{2}u^{*}/\partial x^{*2}+\cdots\right).
  • O termo de corpo fica \frac{\rho g_{x}}{\rho V^{2}/L}=\frac{g_{x}L}{V^{2}}.Podemos relacioná-lo ao número de Froude padrão definindo \mathrm{Fr}=\dfrac{V}{\sqrt{gL}}. Se g_x for a componente do vetor gravidade (com magnitude g), então \frac{g_x L}{V^{2}}=\frac{g_x}{g}\cdot\frac{gL}{V^{2}}=\frac{g_x}{g}\cdot\frac{1}{\mathrm{Fr}^{2}}.
Reescrevendo a equação adimensional final (forma geral):
\boxed{\displaystyle \frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}} + u^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}} + v^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial y^{*}} + w^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial z^{*}} = -\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial x^{*2}}+\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial y^{*2}}+\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial z^{*2}}\right) + \frac{g_{x}L}{V^{2}}.}

Passo 6

Interpretação dos números adimensionais que surgiram e comentários práticos:
  • Reynolds: \mathrm{Re}=\frac{\rho V L}{\mu},mede a razão entre efeitos inerciais e viscosos. Quando \mathrm{Re} é grande, os termos viscosos têm influência reduzida (exceto em regiões onde gradientes são grandes, como na camada-limite).
  • Froude (aparece via g_x L/V^2): \mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}},e g_x L/V^{2}=(g_x/g)/\mathrm{Fr}^{2}. Esse número compara aceleração inercial com a aceleração gravítica. Se a gravidade tem componente na direção x pode influenciar o escoamento; caso contrário (placa horizontal sem componente em x) esse termo é nulo.
  • Strouhal / escalas temporais: ao escolher t_{\text{flow}}=L/V a derivada temporal ficou multiplicada por 1 na equação adimensional. Se tivesse sido escolhida outra escala de tempo t_{c}, apareceria um número adimensional \mathrm{St}=L/(V t_{c}) multiplicando o termo transiente; aqui tal número vale \mathrm{St}=1 por construção da escala temporal do enunciado.
  • Simplificação de camada-limite (forma reduzida): se além de \partial p/\partial x\approx0 e g_x\approx0 assumirmos que a difusão viscosa em y domina (i.e. \partial^{2}u/\partial y^{2}\gg \partial^{2}u/\partial x^{2},\partial^{2}u/\partial z^{2}), a equação adimensional simplificada fica: \boxed{\displaystyle \frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}} + u^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}} + v^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial y^{*}} = \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial y^{*2}}.}Essa é a forma transiente da equação de camada-limite para o componente u (versão adimensional), onde o único número adimensional relevante é \mathrm{Re} (e a escolha temporal fez o termo transiente ter coeficiente 1).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}} + u^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}} + v^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial y^{*}} + w^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial z^{*}} = -\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\!\left(\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial x^{*2}}+\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial y^{*2}}+\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial z^{*2}}\right) + \frac{g_{x}L}{V^{2}}
\displaystyle (forma simplificada para camada-limite: \displaystyle \frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}} + u^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial x^{*}} + v^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial y^{*}} = \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\frac{\partial^{2} u^{*}}{\partial y^{*2}})
\displaystyle Números adimensionais identificados: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho V L}{\mu} e \displaystyle \mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}} (o termo de gravidade aparece como \;g_{x}L/V^{2}=(g_x/g)/\mathrm{Fr}^{2}); o número de Strouhal relativo à escolha t_{\text{flow}}=L/V vale \mathrm{St}=1.

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