Problema 02
A equação da quantidade do movimento no eixo
para um escoamento incompressível é dada a seguir.
Considere um escoamento sobre uma placa plana, em regime transiente. A velocidade de corrente livre do escoamento é
, o comprimento da placa é
, e a pressão do fluido na corrente livre é
. Mantendo as condições de regime transiente, adotar considerações e adimensionalisar a equação acima. Identificar o número ou números adimensionais que aparecem na equação adimensionalizada.
Dica: Faça primeiro as simplificações e depois proceda a adimensionalisar a equação como foi realizado em sala de aula. Para o tempo característico utilizar
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação da quantidade de movimento no eixo
para escoamento incompressível:
Informações do enunciado e o que se pede:
- Velocidade da corrente livre:
. - Comprimento da placa plana:
. - Pressão na corrente livre:
. - Regime transiente (usar
como escala de tempo). - Pedem: adimensionalizar a equação (mantendo o caráter transiente) e identificar os números adimensionais que aparecem.
Observações que já podemos anotar (sem ainda desenvolver cálculos): - Podemos usar uma escala de velocidade
, comprimento e tempo . - A pressão na corrente livre
nos permite escalar a pressão por . - Para o escoamento sobre placa plana normalmente se considera que a pressão na direção
na corrente livre é constante (logo, pode ser pequeno dentro da camada-limite); isso será discutido nas simplificações seguintes.
Passo 2
Simplificações físicas-usuais para escoamento sobre placa plana (explicar porquê antes de adimensionalizar):
- Pressão externa constante: o escoamento externo sobre placa plana não impõe gradiente de pressão ao longo da placa, então toma-se
dentro da camada-limite (isso é a hipótese clássica de fluxo sobre placa sem gradiente de pressão externo). Mantemos, porém, a forma geral da adimensionalização para mostrar onde o termo de pressão aparece; depois aplicamos se desejado. - Força de corpo: se a gravidade não tiver componente na direção
(placa horizontal) então . Caso contrário, o termo aparece multiplicado por um parâmetro adimensional. Vamos manter na adimensionalização e mostrar o parâmetro resultante. - Aproximação de camada-limite (opcional, explicada depois): em camada-limite as variações em
são muito maiores que em , fazendo com que seja o termo viscoso dominante. Essa é uma simplificação posterior — primeiro fazemos a adimensionalização geral e então mostramos a forma reduzida sob hipóteses de camada-limite.
Passo 3
Definições de escalas (explicar o porquê de cada escolha):
- Escalas geométricas e de velocidade:
-
-
Justificativa:e são as escalas naturais fornecidas no enunciado (comprimento da placa e velocidade da corrente livre).
-
- Escala de tempo (dada no enunciado):
-
Com isto.
-
- Escala de pressão: aproveitamos
e escalamos as flutuações dinâmicas por : -
Isto faz com que um gradiente de pressão dinâmico típico seja da ordem.
-
- Notas: todas as variáveis adimensionais (com superscrito
) são da ordem da unidade no campo externo (por exemplo fora da camada-limite).
Passo 4
Derivadas em termos das variáveis adimensionais (mostrar cálculo detalhado):
- Tempo:
- Derivadas espaciais de primeira ordem:
Mesma forma para e . - Derivadas espaciais de segunda ordem:
já que e cada derivada em traz um fator . (Idêntico para e .) - Gradiente de pressão:
Passo 5
Substituição na equação e fator comum (passo algébrico):
Substituindo cada termo na equação original e dividindo toda a equação pelo fator (que é a escala típica da força inercial por unidade de volume), obtemos:
Substituindo cada termo na equação original e dividindo toda a equação pelo fator
Agora simplificamos os coeficientes:
- Definimos o número de Reynolds
Assim o termo viscoso fica . - O termo de corpo fica
Podemos relacioná-lo ao número de Froude padrão definindo . Se for a componente do vetor gravidade (com magnitude ), então
Reescrevendo a equação adimensional final (forma geral):
Passo 6
Interpretação dos números adimensionais que surgiram e comentários práticos:
- Reynolds:
mede a razão entre efeitos inerciais e viscosos. Quando é grande, os termos viscosos têm influência reduzida (exceto em regiões onde gradientes são grandes, como na camada-limite). - Froude (aparece via
): e . Esse número compara aceleração inercial com a aceleração gravítica. Se a gravidade tem componente na direção pode influenciar o escoamento; caso contrário (placa horizontal sem componente em ) esse termo é nulo. - Strouhal / escalas temporais: ao escolher
a derivada temporal ficou multiplicada por 1 na equação adimensional. Se tivesse sido escolhida outra escala de tempo , apareceria um número adimensional multiplicando o termo transiente; aqui tal número vale por construção da escala temporal do enunciado. - Simplificação de camada-limite (forma reduzida): se além de
e assumirmos que a difusão viscosa em domina (i.e. ), a equação adimensional simplificada fica: Essa é a forma transiente da equação de camada-limite para o componente (versão adimensional), onde o único número adimensional relevante é (e a escolha temporal fez o termo transiente ter coeficiente 1).