A água entra em uma casa através de um tubo com diâmetro interno de 4 times 10^-2 m , com uma pressão absoluta igual a 4 times 10^5 Pa. Um tubo com diâmetro interno de 2 times 10^-2 m conduz ao banheiro do segundo andar a 1 0 m de altura. Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 1 m / s, ache a vazão volumétrica no banheiro. Abs: g=1 0 m / s^2, g=10 m / s^2, densidade de água rho=1000 kg / m^3.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um tubo que leva água para uma casa, com um certo diâmetro, pressão e velocidade da água na entrada. Esse tubo se divide e parte para o banheiro no segundo andar, que está a 10 metros de altura. Precisamos descobrir qual é a vazão volumétrica da água que chega no banheiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática e continuidade de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a vazão volumétrica ( Q) é a quantidade de água que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. Ela é dada por:
Q = A times v
onde A é a área da seção transversal do tubo e v é a velocidade da água.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal do tubo na entrada. O diâmetro D1 é 4 times 10^-2 metros. A área A1 de um círculo é:
A1 = pi times (D12)^2
Substituindo:
A1 = pi times (4 times 10^-22)^2 = pi times (2 times 10^-2)^2 = pi times 4 times 10^-4 = 4pi times 10^-4 , m^2

Passo 4

Sabemos que a velocidade da água na entrada ( v1) é de 1 , m/s. Então, a vazão volumétrica na entrada ( Q1) é:
Q1 = A1 times v1 = 4pi times 10^-4 times 1 = 4pi times 10^-4 , m^3/s

Passo 5

Agora, vamos considerar a situação no banheiro. A água precisa subir uma altura ( h) de 10 , m. Para isso, a pressão na saída ( P2) deve compensar a perda de pressão devido à altura. Usamos a equação de Bernoulli simplificada para altura:
P1 + rho g h = P2
Entretanto, se considerarmos que a pressão na saída é atmosférica e a diferença de pressão é o que impulsiona a água para cima, podemos rearranjar para encontrar a velocidade na saída.

Passo 6

Aplicando a equação de Bernoulli, temos:
P1 + 12 rho v1^2 = 12 rho v2^2 + rho g h
Queremos encontrar v2, a velocidade da água no banheiro.

Passo 7

Isolando v2:
12 rho v2^2 = P1 + 12 rho v1^2 - rho g h
Multiplicando por 2 e dividindo por rho:
v2^2 = 2P1rho + v1^2 - 2gh
v2 = raiz2P1rho + v1^2 - 2gh

Passo 8

Substituindo os valores:
P1 = 4 times 10^5 , Pa, rho = 1000 , kg/m^3, v1 = 1 , m/s, g = 10 , m/s^2, h = 10 , m
Então:
v2 = raiz2 times 4 times 10^51000 + 1^2 - 2 times 10 times 10
v2 = raiz8 times 10^51000 + 1 - 200
v2 = raiz800 + 1 - 200 = raiz601 approx 24.52 , m/s

Passo 9

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo que vai para o banheiro. O diâmetro D2 é 2 times 10^-2 metros.
A2 = pi times (D22)^2 = pi times (1 times 10^-2)^2 = pi times 1 times 10^-4 = pi times 10^-4 , m^2

Passo 10

Finalmente, a vazão volumétrica no banheiro ( Q2) é:
Q2 = A2 times v2 = pi times 10^-4 times 24.52 approx 7.7 times 10^-3 , m^3/s

Resposta

A vazão volumétrica no banheiro é aproximadamente 7.7 times 10^-3 , m^3/s.

Exercícios relacionados