Água escoa de um tubo horizontal para dentro de um grande tanque, cujo nível d’água está a 4 m acima do tubo. Sabendo-se que a perda de carga é de 0,2 \mathrm{~m}, calcule a velocidade média do escoamento no tubo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade média do escoamento no tubo.
  • Nível da água no grande tanque está a 4\\ \mathrm{m} acima do eixo do tubo.
  • A perda de carga ao longo do trajeto é h_L = 0,2\\ \mathrm{m}.
  • O tubo é horizontal (logo a cota do tubo é a referência z=0 que usaremos).
  • O tanque é “grande” (velocidade da superfície do tanque é desprezível, praticamente 0).
  • Pergunta: calcular a velocidade média v do escoamento no tubo.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática)?
Vamos usar a equação de Bernoulli com termo de perda de carga. Por que ela serve? Porque relaciona energia por unidade de peso entre dois pontos de um escoamento: pressão, energia cinética (velocidade) e energia potencial (cota). Quando há perdas (atrito, entradas, saídas) acrescentamos um termo h_L que representa a energia perdida por unidade de peso, em metros de coluna de fluido. A forma geral entre dois pontos 1 e 2 é:
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 \;=\; \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_L
Aqui:
  • \displaystyle \frac{p}{\rho g} é a pressão expressa em metros de coluna de fluido (carga de pressão);
  • \displaystyle \frac{v^2}{2g} é a carga cinética (energia por unidade de peso devido à velocidade);
  • z é a cota (carga potencial);
  • h_L é a perda de carga (em metros).

Passo 3

Escolha dos pontos e simplificações físicas (explicação):
Escolhemos o ponto 1 na superfície livre do tanque e o ponto 2 no interior do tubo (no trecho onde queremos a velocidade média). As simplificações:
  • Pressão em ambos os pontos é atmosférica, portanto \displaystyle \frac{p_1}{\rho g}=\frac{p_2}{\rho g} e essas parcelas se cancelam.
  • Velocidade na superfície do tanque é desprezível: v_1\approx 0 porque o tanque é grande.
  • Tomamos a cota da superfície como z_1=4\\ \mathrm{m} e a cota no tubo como z_2=0.
  • A perda de carga total entre superfície e ponto no tubo é h_L=0,2\\ \mathrm{m}.
Substituindo essas simplificações na equação de Bernoulli obtemos:
0 + 0 + 4 \;=\; \frac{v^2}{2g} + 0 + h_L

Passo 4

Isolando a velocidade e interpretando os termos:
Reescrevendo a equação do passo anterior para encontrar \displaystyle \frac{v^2}{2g}:
\frac{v^2}{2g} \;=\; 4 - h_L.
Aqui o lado direito é a “carga útil” disponível para converter em velocidade: a diferença entre a altura estática disponível ( 4\\ \mathrm{m}) e as perdas ( h_L).
Substituímos h_L = 0,2\\ \mathrm{m}:
\frac{v^2}{2g} \;=\; 4 - 0,2 \;=\; 3,8\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular numericamente a velocidade (passo a passo aritmético):
Multiplicamos ambos os lados por 2g para isolar v^2. Usamos g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2} (aceleração da gravidade):
v^2 \;=\; 2g \cdot 3,8 \;=\; 2 \cdot 9,81 \cdot 3,8.
Calculemos o produto em etapas:
2\cdot 9,81 = 19,62,
19,62 \cdot 3,8 = 74,556.
Logo
v^2 = 74,556.
Agora tiramos a raiz quadrada:
v = \sqrt{74,556} \approx 8,63\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação rápida do resultado e comparação com o caso sem perdas (como entendimento extra):
Se não houvesse perdas ( h_L=0) teríamos a famosa fórmula de Torricelli v=\sqrt{2g\cdot 4}\approx 8,86\\ \mathrm{m/s}. A perda de 0,2\\ \mathrm{m} reduz a velocidade para cerca de 8,63\\ \mathrm{m/s}. Ou seja, perdas pequenas produzem redução moderada na velocidade — bom para termos noção do efeito.

Resposta

v \approx 8,63\\ \mathrm{m/s}

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