Água escoa de um tubo horizontal para dentro de um grande tanque, cujo nível d’água está a 4 m acima do tubo. Sabendo-se que a perda de carga é de
, calcule a velocidade média do escoamento no tubo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade média do escoamento no tubo.
- Nível da água no grande tanque está a
acima do eixo do tubo. - A perda de carga ao longo do trajeto é
. - O tubo é horizontal (logo a cota do tubo é a referência
que usaremos). - O tanque é “grande” (velocidade da superfície do tanque é desprezível, praticamente
). - Pergunta: calcular a velocidade média
do escoamento no tubo.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática)?
Vamos usar a equação de Bernoulli com termo de perda de carga. Por que ela serve? Porque relaciona energia por unidade de peso entre dois pontos de um escoamento: pressão, energia cinética (velocidade) e energia potencial (cota). Quando há perdas (atrito, entradas, saídas) acrescentamos um termo que representa a energia perdida por unidade de peso, em metros de coluna de fluido. A forma geral entre dois pontos 1 e 2 é:
Vamos usar a equação de Bernoulli com termo de perda de carga. Por que ela serve? Porque relaciona energia por unidade de peso entre dois pontos de um escoamento: pressão, energia cinética (velocidade) e energia potencial (cota). Quando há perdas (atrito, entradas, saídas) acrescentamos um termo
Aqui:
-
é a pressão expressa em metros de coluna de fluido (carga de pressão); -
é a carga cinética (energia por unidade de peso devido à velocidade); -
é a cota (carga potencial); -
é a perda de carga (em metros).
Passo 3
Escolha dos pontos e simplificações físicas (explicação):
Escolhemos o ponto 1 na superfície livre do tanque e o ponto 2 no interior do tubo (no trecho onde queremos a velocidade média). As simplificações:
Escolhemos o ponto 1 na superfície livre do tanque e o ponto 2 no interior do tubo (no trecho onde queremos a velocidade média). As simplificações:
- Pressão em ambos os pontos é atmosférica, portanto
e essas parcelas se cancelam. - Velocidade na superfície do tanque é desprezível:
porque o tanque é grande. - Tomamos a cota da superfície como
e a cota no tubo como . - A perda de carga total entre superfície e ponto no tubo é
.
Substituindo essas simplificações na equação de Bernoulli obtemos:
Passo 4
Isolando a velocidade e interpretando os termos:
Reescrevendo a equação do passo anterior para encontrar :
Reescrevendo a equação do passo anterior para encontrar
Aqui o lado direito é a “carga útil” disponível para converter em velocidade: a diferença entre a altura estática disponível (
) e as perdas (
).
Substituímos
:
Passo 5
Calcular numericamente a velocidade (passo a passo aritmético):
Multiplicamos ambos os lados por para isolar
. Usamos
(aceleração da gravidade):
Multiplicamos ambos os lados por
Calculemos o produto em etapas:
Logo
Agora tiramos a raiz quadrada:
Passo 6
Interpretação rápida do resultado e comparação com o caso sem perdas (como entendimento extra):
Se não houvesse perdas ( ) teríamos a famosa fórmula de Torricelli
. A perda de
reduz a velocidade para cerca de
. Ou seja, perdas pequenas produzem redução moderada na velocidade — bom para termos noção do efeito.
Se não houvesse perdas (