Água escoa através de um sistema de tubulação. Na tubulação 1 o fluido escoa com o seguinte perfil de velocidade, v1=6[1-(r^216)^square] cm / s, e a tubulação 2 possui D2=1,5 cm. Qual a velocidade média do escoamento na tubulação menor?

Passo 1

Tranquilo, então o exercício diz que na tubulação 1 o perfil de velocidade é
v1(r)=6l[1 - l(tfracr^216r)^2r];cm/s
e a tubulação 2 tem diâmetro cm. A pergunta é: qual a velocidade média do escoamento na tubulação menor?
Conteúdo: Mecânica dos Fluidos – perfil de velocidade, velocidade média e equação da continuidade.
O que precisamos:
  1. Calcular o escoamento (vazão) na tubulação 1 via integral do perfil de velocidade.
  2. Usar a equação da continuidade ( ) para achar a velocidade média em 2.

Passo 2

Vamos achar a vazão volumétrica em 1, Q1 ;=;integral duplaA1 v1,dA ;=;2pi integral0^R1 r,v1(r),dr com R1=tfracD12=4 cm .
Em coordenadas cilíndricas:
Q1 = 2piintegral0^4 r;gl[6l(1 - r^416^2r)gr]dr =12piintegral0^4l(r - tfracr^5256r)dr
Substituindo :

Passo 3

Agora resolvemos a integral:
integral0^4 r,dr = 4^22=8, integral0^4 r^5,dr = 4^66=40966
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Q1 = 12pil(8 - 1256cdot40966r) =12pil(8 - 40961536r) =12pil(8 - 2,6667r) =12picdot5,3333 =64pi;cm^3/s

Passo 4

Pela continuidade, v2,média =Q2A2 =64pi0,5625pi =640,5625 approx113,78;cm/s . Na tubulação 2, ;cm².
A velocidade média em 2 é
é

Resposta

A velocidade média na tubulação menor é aproximadamente
boxedv2,média approx 113,8;cm/s é

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