Água escoa através de uma tubulação de 35 mm de diâmetro a uma vazão de 0,9 kg / s. A água deve ser aquecida de 20^circ C até 84^circ C pela manutenção da temperatura da superfície em 100^circ C. Qual deve ser o comprimento do tubo necessário para essa condição?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que água entra no tubo a 20 °C e sai a 84 °C, com vazão mássica de 0,9 kg/s, diâmetro interno de 35 mm, e a parede do tubo está a 100 °C o tempo todo. A matéria aqui é transferência de calor por convecção interna em escoamento turbulento e balanço de energia no escoamento. Vamos precisar de:
  1. velocidade do fluido e número de Reynolds para descobrir se é turbulento;
  2. correlação de Dittus–Boelter para achar o coeficiente de convecção ;
  3. balanço de energia em regime estacionário para escrever a equação diferencial de temperatura e integrar pra achar o comprimento .

Passo 2

Primeiro a gente acha a velocidade média do escoamento:
Área interna A = pi4(0,035)^2 approx 9,62times10^-4, m^2 , com v = 0,9997;times;9,62times10^-4 approx0,94,m/s .
Então
Re = v,Dnu,
E a velocidade Re = 0,94times0,0351times10^-6 approx3,3times10^4, . Considera água a :
Agora o número de Reynolds:
usando viscosidade cinemática :
que é bem maior que 2300, ou seja, escoamento turbulento.

Passo 3

Para turbulento interno, usa Dittus–Boelter:
Nu = 0,023,Re^0,8,Pr^0,3
Pra água, Nuapprox0,023,(3,3times10^4)^0,8,(4)^0,3 approx143 . Então
h = Nu,kD,
O coeficiente de convecção é
h = 143times0,6470,035 approx2,650;W/m^2,K
com :

Passo 4

Agora o balanço de energia no escoamento estacionário: num pequeno trecho dot q' = h,P,(Tw - T), , a taxa de calor recebida é
dot m,cp,dTdx = h,P,(Tw - T)
onde integral20^84dTTw-T = hPdot m,cpintegral0^Ldx é o perímetro molhado e -lnTw - ToutTw - Tin = h,pi Ddot m,cp,L . Isso aquece o fluido, então
L = dot m,cph,pi D ln!l(Tw - TinTw - Toutr)
Separa variáveis e integra de ( ) até ( ):
A integral dá
Reorganizando, o comprimento procurado é

Passo 5

Só falta colocar números:
L = 0,9times41802650timespitimes0,035 ln8016 approx12,9timesln5 approx12,9times1,609 approx20,8;m ;\quad ;\quad ;\quad ;\quad
;\quad .

Resposta

O tubo precisa ter aproximadamente 20,8 metros de comprimento.

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