Uma salsicha inicialmente a 2^circ C é colocada na água fervente a 100^circ C. O coeficiente de transferência de calor na superfície da salsicha é estimado em 304 W / m^2 ^circ C. Considerando a salsicha um cilindro infinito de 2,5 cm de diâmetro. Determine a temperatura no centro salsicha após 5 minutos de cozimento.
rho=980 kg / m^3 Cp=3,90 kJ / kg^circ C k=0,76 W / m^circ C
alpha=2 times 10^-7 m^2 / s

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que uma salsicha (cilíndrica infinita, diâmetro 2,5 cm) entra de 2 °C num banho de água a 100 °C, com coeficiente de convecção h = 304 W/m²·°C. Precisamos achar a temperatura no centro da salsicha depois de 5 min.
Conteúdo: condução transiente em cilindro com convecção na superfície. Vamos ver que método usar (número de Biot, número de Fourier etc.) e depois aplicar a solução de primeiro termo da série (ou “Heisler” simplificado).

Passo 2

Primeiro calculamos o número de Biot
Bi=h,Rk
onde
R = raio = 0,025 m/2 = 0,0125 m,
k = 0,76 W/m·°C,
h = 304 W/m²·°C.
Então
Bi = 304 times 0.01250.76approx 5,0
Como Bi > 0,1, não dá pra usar o método de “corpo lumped”. Precisamos considerar gradiente interno de temperatura.

Passo 3

Para condução transiente num cilindro infinito com temperatura da superfície ≃ constante (100 °C), a solução em série no centro (r=0) pode ser aproximada pelo primeiro modo:
Theta = T(0,t)-TinftyTi - Tinfty approx A1 ,e^-lambda1^2,Fo,
onde
°C é a temperatura inicial,
°C é a temperatura da água (suposta constante na superfície),
é a raiz de para contorno Dirichlet ( ),
,
é o número de Fourier, com m²/s e s.

Passo 4

Calcular Fo = 2times10^-7times300(0.0125)^2 = 6times10^-51,5625times10^-4 approx0,384 :
A1 = 42,405times0,5191 approx 41,249 approx3,202
Agora Theta approx 3,202;e^-2,405^2times0,384 =3,202;e^-2,222 approx3,202times0,1088 approx0,348 e T(0,t)-1002-100=0,348 ;;Longrightarrow;; T(0,t)=100+0,348,(2-100) , então
Logo
Isso significa

Resposta

T(0,5 min) ≃ 100 – 0,348×98 ≃ 100 – 34,1 ≃ 65,9 °C.

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