Água escoa em um canal retangular aberto a uma profundidade de 1 m com uma velocidade de 4 m / s. O fundo do canal cai sobre uma curta distância de 1 m .
Calcule as duas possíveis profundidades de escoamento após a queda. Despreze todas as perdas.

Passo 1

O exercício diz que água escoa num canal retangular aberto, com profundidade inicial m e velocidade m/s. Logo depois o fundo do canal cai 1 m (sem perdas de energia). A matéria aqui é Mecânica dos Fluidos – Energia específica e conservação de energia (Bernoulli sem perdas e conceito de energia específica, ). Para resolver vamos precisar:
  • Calcular a energia específica antes da queda,
  • Ver como muda essa energia quando o fundo cai 1 m,
  • Relacionar vazão, velocidade e profundidade no trecho abaixo da queda,
  • Montar a equação e achar as profundidades possíveis .

Passo 2

Primeiro, energia específica no trecho 1:
E1 = 1 + 4^22cdot 9,81 = 1 + 1619,62 approx 1 + 0,816 = 1,816;m .
Substituindo m, m/s e m/s²:

Passo 3

Como o fundo cai 1 m, a energia específica relativa ao novo fundo aumenta 1 m (sem perdas). Então
E2 = E1 + 1 = 1,816 + 1 = 2,816;m

Passo 4

A vazão Q = b,y1,v1 = bcdot 1 cdot 4 = 4b no canal retangular de largura v2 = Qb,y2 = 4bb,y2 = 4y2 é
E2 = y2 + v2^22g = y2 + (4/y2)^22cdot 9,81 = y2 + 162cdot 9,81,y2^2 = y2 + 89,81,y2^2
Aí, no trecho 2 a velocidade é
y2 + 89,81,y2^2 = 2,816
A energia específica no trecho 2 é
E sabemos que isso vale . Logo temos a equação

Passo 5

Para resolver essa equação a gente multiplica tudo por 9,81,y2^3 ;-; 27,62,y2^2 ;+; 8 ;=; 0 e obtém um polinômio cúbico:
y2,1 approx 0,61;m, y2,2 approx 2,70;m
Usando um método numérico (tentativa e erro, algorítmico, Cardano etc.) a gente encontra duas raízes positivas:

Resposta

As duas possíveis profundidades após a queda são
boxedy2 approx 0,61 m e y2 approx 2,70 m

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