Água escoa em um canal retangular aberto a uma profundidade de 1 m com uma velocidade de
. O fundo do canal cai sobre uma curta distância de 1 m .
Calcule as duas possíveis profundidades de escoamento após a queda. Despreze todas as perdas.
Calcule as duas possíveis profundidades de escoamento após a queda. Despreze todas as perdas.
Passo 1
O exercício diz que água escoa num canal retangular aberto, com profundidade inicial
m e velocidade
m/s. Logo depois o fundo do canal cai 1 m (sem perdas de energia). A matéria aqui é Mecânica dos Fluidos – Energia específica e conservação de energia (Bernoulli sem perdas e conceito de energia específica,
). Para resolver vamos precisar:
- Calcular a energia específica antes da queda,
- Ver como muda essa energia quando o fundo cai 1 m,
- Relacionar vazão, velocidade e profundidade no trecho abaixo da queda,
- Montar a equação e achar as profundidades possíveis
.
Passo 2
Primeiro, energia específica no trecho 1:
.
Substituindo m,
m/s e
m/s²:
Substituindo
Passo 3
Como o fundo cai 1 m, a energia específica relativa ao novo fundo aumenta 1 m (sem perdas). Então
Passo 4
A vazão
no canal retangular de largura
é
Aí, no trecho 2 a velocidade é
A energia específica no trecho 2 é
E sabemos que isso vale
. Logo temos a equação
Passo 5
Para resolver essa equação a gente multiplica tudo por
e obtém um polinômio cúbico:
Usando um método numérico (tentativa e erro, algorítmico, Cardano etc.) a gente encontra duas raízes positivas:
Resposta
As duas possíveis profundidades após a queda são