Água escoa em uma tubulação de diâmetro d a uma pressão p. Escoa por um bocal de diâmetro d / 2 para a atmosfera. Calcule a força da água sobre o bocal se:
(a) d=6 cm, p=200 kPa
(b) d=6 cm, p=400 kPa
© d=12 cm, p=200 kPa

Passo 1

Beleza, o problema diz que água flui numa tubulação de diâmetro sob pressão e sai num bocal de diâmetro pra atmosfera. A gente quer a força que a água faz nesse bocal nos casos:
(a)
(b)
©
Conteúdo: mecânica dos fluidos – vamos usar
  1. Equação da continuidade (conservação de massa)
  2. Equação de Bernoulli (energia do escoamento)
  3. Teorema da quantidade de movimento (força de reação no bocal)

Passo 2

Primeiro, define área e velocidades. Se A1 = pi d^24, A2 = pi (d/2)^24 = pi d^216 é o diâmetro de entrada, então
v1 = A2A1,v2 = 1/161/4,v2 = 14,v2
Pela continuidade , logo

Passo 3

Agora Bernoulli entre seção 1 (pressão p + tfrac12rho v1^2 = 0 + tfrac12rho v2^2, v1) e saída (pressão atmosférica = 0 gauge, v2):
p = tfrac12rhol(v2^2 - v2^216r) = tfrac12rho,v2^21516 ;Longrightarrow; v2^2 = 3215,prho
Substituindo :

Passo 4

Teorema da quantidade de movimento: a força que o fluido faz no bocal (reação) é
F = dot m,(v2-v1) + l(prm outA2 - p,A1r)
Como F = rho A2v2l(v2-tfracv24r) - p,A1 = rho A2,v2^234 - p,A1 (atmosfera gauge) e rho A2v2^2 = pi d^216,3215,p = 2pi d^215,p, , e lembrando F = 2pi d^215,p;34;-;pi d^24,p = pi d^2,p4l(2cdot315-1r) = pi d^2,p4l(615-1r) = pi d^2,p4l(!-tfrac915r) = -,3pi d^2,p20 , dá
F = 3pi d^2,p20 = 0,15,pi,d^2,p
Mas . E de Bernoulli temos . Então
logo
O sinal “–” diz que a força está no sentido oposto ao escoamento, mas em módulo

Passo 5

Basta substituir:
Usamos F = 0,15;pi;(0,06)^2;(2cdot10^5) approx 340 N em m² e Fapprox 680 N em Pa.
(a) Fapprox 4times340 = 1360 N m, Pa:
(b) m, Pa: duplica , logo
© m, Pa: como quadruplica,

Resposta

(a)
(b)
©

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