3- A água escoa por uma canalização cuja seção varia do ponto "
" para o ponto "
". Em "
" o diâmetro é de 4 " e a pressão é de 1,0 atm estando a tubulação a
do solo. Em " B ", o diâmetro da tubulação é de 2 " e a pressão é de 10
e a canalização está ao nível do solo, considere o fluido com de viscosidade nula. Determinar a vazão em
?
Passo 1
O enunciado pede a vazão volumétrica em
. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
A pergunta é: qual é a vazão volumétrica
(em
) que satisfaz essas condições?
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e amigável): com fluido ideal (viscosidade nula) e escoamento em uma tubulação sem atrito, usamos duas ferramentas básicas que o professor adora:
- Equação da continuidade (conservação de massa) para relacionar as velocidades em
e . - Equação de Bernoulli sem termos de perda (conservação de energia por unidade de massa) entre
e .
Vou aplicar essas duas equações juntas para encontrar as velocidades e daí a vazão. Nada de invenção — só física clássica.
Passo 3
Converter unidades e calcular áreas das seções (a matemática tem que ficar toda certinha):
Constantes e conversões que usarei:
Converter diâmetros para metros:
Áreas das seções (fórmula da área de círculo:
; explicando:
é diâmetro,
é 3,1415…):
Observação rápida: como
é o dobro de
,
é quatro vezes
, confere com os números.
Converter pressões para pascal:
Passo 4
Equação da continuidade (conservação de massa) — passo pedagógico curto:
A continuidade para escoamento incompressível diz que a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção, logo
A continuidade para escoamento incompressível diz que a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção, logo
onde
e
são as velocidades médias em
e
. Assim a relação entre velocidades é
Como
, temos
Explicando: como o diâmetro diminui, a velocidade aumenta para manter a mesma vazão.
Passo 5
Equação de Bernoulli entre
e
(sem perdas): vou escrever a forma por unidade de massa/energia:
Reorganizando para isolar termos cinéticos:
Agora substituo
, então
Logo
Isolando
:
Passo 6
Substituir valores numéricos (calculemos com calma, passo a passo):
Diferença de pressão por unidade de massa:
Termo de gravidade:
Somando:
Agora
Portanto
E lembrando
,
Passo 7
Calcular a vazão
. Uso
(ou
, dá o mesmo).
Já calculei
e
. Então
Converter para
(
):
Arredondando com uma precisão razoável:
.
Passo 8
Verificação rápida e observações finais (estilo amigo que te dá confiança):
- O sinal das energias está ok: a pressão em
é maior que em e está mais alto; a combinação permitiu fluxo do provável sentido. - Como desprezamos viscosidade e perdas, esse é o resultado ideal. Em tubulações reais a vazão seria um pouco menor por perdas por atrito e singularidades.
- Se precisar ajustar para resistência ou usar densidade ligeiramente diferente, a mesma rota de cálculo vale.