3- A água escoa por uma canalização cuja seção varia do ponto " A " para o ponto " B ". Em " A " o diâmetro é de 4 " e a pressão é de 1,0 atm estando a tubulação a 5,0 \mathrm{~m} do solo. Em " B ", o diâmetro da tubulação é de 2 " e a pressão é de 10 \mathrm{lbf} / \mathrm{pol}^{2} e a canalização está ao nível do solo, considere o fluido com de viscosidade nula. Determinar a vazão em \mathrm{l} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede a vazão volumétrica em \mathrm{L/s}. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro em }A: &&d_A = 4'' \\\ &\text{Diâmetro em }B: &&d_B = 2'' \\\ &\text{Pressão em }A: &&p_A = 1,0\\ \text{atm} \\\ &\text{Pressão em }B: &&p_B = 10\\ \mathrm{lbf/pol^2} \\\ &\text{Cotas:} &&z_A = 5{,}0\\ \mathrm{m},\quad z_B = 0\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Fluido:} &&\text{água (viscosidade nula, incompressível)}. \end{aligned}ââããáí
A pergunta é: qual é a vazão volumétrica Q (em \mathrm{L/s}) que satisfaz essas condições?

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e amigável): com fluido ideal (viscosidade nula) e escoamento em uma tubulação sem atrito, usamos duas ferramentas básicas que o professor adora:
  1. Equação da continuidade (conservação de massa) para relacionar as velocidades em A e B.
  2. Equação de Bernoulli sem termos de perda (conservação de energia por unidade de massa) entre A e B.
Vou aplicar essas duas equações juntas para encontrar as velocidades e daí a vazão. Nada de invenção — só física clássica.

Passo 3

Converter unidades e calcular áreas das seções (a matemática tem que ficar toda certinha):
Constantes e conversões que usarei:
\begin{aligned} &1'' = 0{,}0254\\ \mathrm{m},\\\ &1\\ \text{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa},\\\ &1\\ \mathrm{lbf/pol^2} = 6894{,}76\\ \mathrm{Pa},\\\ &\rho_{\text{água}} \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}á
Converter diâmetros para metros:
\begin{aligned} &d_A = 4'' = 4 \times 0{,}0254 = 0{,}1016\\ \mathrm{m},\\\ &d_B = 2'' = 2 \times 0{,}0254 = 0{,}0508\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Áreas das seções (fórmula da área de círculo: \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}; explicando: d é diâmetro, \pi é 3,1415…):
\begin{aligned} &A_A = \frac{\pi d_A^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1016)^2}{4} \approx 0{,}00810\\ \mathrm{m^2},\\\ &A_B = \frac{\pi d_B^2}{4} = \frac{\pi (0{,}0508)^2}{4} \approx 0{,}00203\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
Observação rápida: como d_A é o dobro de d_B, A_A é quatro vezes A_B, confere com os números.
Converter pressões para pascal:
\begin{aligned} &p_A = 1{,}0\\ \text{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa},\\\ &p_B = 10\\ \mathrm{lbf/pol^2} = 10 \times 6894{,}76 = 68947{,}6\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}

Passo 4

Equação da continuidade (conservação de massa) — passo pedagógico curto:
A continuidade para escoamento incompressível diz que a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção, logo
Q = v_A A_A = v_B A_B,
onde v_A e v_B são as velocidades médias em A e B. Assim a relação entre velocidades é
\frac{v_B}{v_A}=\frac{A_A}{A_B}.
Como A_A/A_B = (d_A/d_B)^2 = (4/2)^2 = 4, temos
v_B = 4\,v_A.
Explicando: como o diâmetro diminui, a velocidade aumenta para manter a mesma vazão.

Passo 5

Equação de Bernoulli entre A e B (sem perdas): vou escrever a forma por unidade de massa/energia:
\frac{p_A}{\rho} + \frac{v_A^2}{2} + g z_A = \frac{p_B}{\rho} + \frac{v_B^2}{2} + g z_B.
Reorganizando para isolar termos cinéticos:
\frac{v_B^2 - v_A^2}{2} = \frac{p_A - p_B}{\rho} + g(z_A - z_B).
Agora substituo v_B = 4 v_A, então
\frac{(4v_A)^2 - v_A^2}{2} = \frac{16 v_A^2 - v_A^2}{2} = \frac{15 v_A^2}{2}.
Logo
\frac{15 v_A^2}{2} = \frac{p_A - p_B}{\rho} + g(z_A - z_B).
Isolando v_A^2:
v_A^2 = \frac{2}{15}\left(\frac{p_A - p_B}{\rho} + g(z_A - z_B)\right).

Passo 6

Substituir valores numéricos (calculemos com calma, passo a passo):
Diferença de pressão por unidade de massa:
\frac{p_A - p_B}{\rho} = \frac{101325 - 68947{,}6}{1000} = \frac{32377{,}4}{1000} = 32{,}3774\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Termo de gravidade:
g(z_A - z_B) = 9{,}81 \times 5{,}0 = 49{,}05\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Somando:
\frac{p_A - p_B}{\rho} + g(z_A - z_B) = 32{,}3774 + 49{,}05 = 81{,}4274\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Agora
v_A^2 = \frac{2}{15}\times 81{,}4274 = 0{,}133333\ldots \times 81{,}4274 \approx 10{,}8570\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Portanto
v_A \approx \sqrt{10{,}8570} \approx 3{,}295\\ \mathrm{m/s}.
E lembrando v_B = 4 v_A,
v_B \approx 4 \times 3{,}295 = 13{,}18\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a vazão Q. Uso Q = v_A A_A (ou Q=v_B A_B, dá o mesmo).
Já calculei A_A \approx 0{,}00810\\ \mathrm{m^2} e v_A \approx 3{,}295\\ \mathrm{m/s}. Então
Q = v_A A_A \approx 3{,}295 \times 0{,}00810 \approx 0{,}02672\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para \mathrm{L/s} ( 1\\ \mathrm{m^3/s} = 1000\\ \mathrm{L/s} ):
Q \approx 0{,}02672\times 1000 = 26{,}72\\ \mathrm{L/s}.
Arredondando com uma precisão razoável: Q \approx 26{,}7\\ \mathrm{L/s}.

Passo 8

Verificação rápida e observações finais (estilo amigo que te dá confiança):
  • O sinal das energias está ok: a pressão em A é maior que em B e A está mais alto; a combinação permitiu fluxo do provável sentido.
  • Como desprezamos viscosidade e perdas, esse é o resultado ideal. Em tubulações reais a vazão seria um pouco menor por perdas por atrito e singularidades.
  • Se precisar ajustar para resistência ou usar densidade ligeiramente diferente, a mesma rota de cálculo vale.

Resposta

\;26{,}7\\ \mathrm{L/s}

Exercícios relacionados