Construir os gráficos das funções reais abaixo.
f(x)=|x|-x

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o gráfico da função
f(x)=|x|-x.
Informações dadas:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A única expressão dada envolve o valor absoluto |x| e uma subtração por x.
    O que precisamos obter no final: uma descrição clara e suficiente para traçar o gráfico de f (equação por partes, comportamento em cada região, pontos importantes e instruções de desenho).

Passo 2

Entender o valor absoluto é essencial. Vou explicar o conceito passo a passo como em prova:
  • O valor absoluto de um número |x|\) é a distância de \(x\) até \(0\) na reta. Por isso \(|x|\) é sempre não negativo. - A definição por partes é \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se }x<0. \end{cases}
Aqui cada caso quer dizer: se x\] já é positivo (ou zero), o módulo não muda; se \(x é negativo, o módulo inverte o sinal para ficar positivo.]

Passo 3

Agora aplico essa definição à função \,f(x)=|x|-x, separando os dois casos (isso é padrão para funções com |x|): primeiro o caso x\ge 0.
Se x\ge 0, então |x|=x. Substituindo:
f(x)=|x|-x = x - x = 0.
Portanto, em toda a região x\ge 0 a função vale exatamente zero. Isso quer dizer que, para x\ge 0, o gráfico é a reta horizontal y=0 (ou seja, o próprio eixo x) nessa metade direita.

Passo 4

Agora o caso x<0. Se x<0, então |x|=-x. Substituindo:
f(x)=|x|-x = (-x) - x = -2x.
Logo, para x<0 a função é a função linear f(x)=-2x. Isso representa uma reta passando pela origem com declive (inclinação) -2 quando expressão é escrita como y=-2x. Note que para x<0 temos -2x>0, então o ramo à esquerda fica acima do eixo x.

Passo 5

Juntando os dois resultados temos a definição por partes final da função:
f(x)=\begin{cases} -2x, & \text{se }x<0,\\[4pt] 0, & \text{se }x\ge 0. \end{cases}
Explicando o que isso significa geometricamente:
  • Para x<0: o gráfico é a reta y=-2x, válido somente para x negativos (um semirreta que passa pela origem e vai para cima quando vamos para a esquerda).
  • Para x\ge 0: o gráfico é a reta horizontal y=0 (o eixo x) para a metade direita.
    Observação sobre continuidade em x=0: o limite pela esquerda é \lim_{x\to 0^-}-2x=0 e pela direita é \lim_{x\to 0^+}0=0; a função em 0 vale f(0)=0. Logo f é contínua em 0.]

Passo 6

Vamos reforçar com pontos concretos (útil na hora de desenhar sem calculadora):
  • x=-2\Rightarrow f(-2)=-2\cdot(-2)=4.
  • x=-1\Rightarrow f(-1)=-2\cdot(-1)=2.
  • x=0\Rightarrow f(0)=0.
  • x=1\Rightarrow f(1)=0.
    Assim, no lado esquerdo os pontos (-2,4), (-1,2), (0,0) estão na reta y=-2x; no lado direito todos os pontos (x,0) com x\ge0 estão no eixo x.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar o gráfico (passo a passo que você pode fazer na prova):
  1. Desenhe eixos coordenados com origem (0,0).
  2. Trace a reta que passa pela origem com inclinação -2 apenas para x<0. Para isso, marque (-1,2) e (-2,4) e ligue esses pontos e a origem, estendendo para a esquerda. Não continue essa reta para x>0.
  3. Trace a linha horizontal y=0 (eixo x) para todo x\ge 0. Marque a origem também neste ramo.
  4. Em (0,0) coloque um ponto preenchido (a função está definida em 0 e vale 0).
  5. Verifique: o gráfico à esquerda vai subindo quando vamos para valores mais negativos de x; à direita é simplesmente o eixo x.

Resposta

f(x)=\begin{cases} -2x, & x<0,\\[4pt] 0, & x\ge 0. \end{cases}
Gráfico: reta y=-2x para x<0 e segmento horizontal y=0 para x\ge 0, unindo-se em (0,0).]

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