Construir os gráficos das funções reais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu construa o gráfico da função
Informações dadas:
- A função está definida para todo
. - A única expressão dada envolve o valor absoluto
e uma subtração por .
O que precisamos obter no final: uma descrição clara e suficiente para traçar o gráfico de(equação por partes, comportamento em cada região, pontos importantes e instruções de desenho).
Passo 2
Entender o valor absoluto é essencial. Vou explicar o conceito passo a passo como em prova:
- O valor absoluto de um número
Aqui cada caso quer dizer: se
é negativo, o módulo inverte o sinal para ficar positivo.]
Passo 3
Agora aplico essa definição à função
, separando os dois casos (isso é padrão para funções com
): primeiro o caso
.
Se , então
. Substituindo:
Se
Portanto, em toda a região
a função vale exatamente zero. Isso quer dizer que, para
, o gráfico é a reta horizontal
(ou seja, o próprio eixo
) nessa metade direita.
Passo 4
Agora o caso
. Se
, então
. Substituindo:
Logo, para
a função é a função linear
. Isso representa uma reta passando pela origem com declive (inclinação)
quando expressão é escrita como
. Note que para
temos
, então o ramo à esquerda fica acima do eixo
.
Passo 5
Juntando os dois resultados temos a definição por partes final da função:
Explicando o que isso significa geometricamente:
- Para
: o gráfico é a reta , válido somente para negativos (um semirreta que passa pela origem e vai para cima quando vamos para a esquerda). - Para
: o gráfico é a reta horizontal (o eixo ) para a metade direita.
Observação sobre continuidade em: o limite pela esquerda é e pela direita é ; a função em vale . Logo é contínua em .]
Passo 6
Vamos reforçar com pontos concretos (útil na hora de desenhar sem calculadora):
-
. -
. -
. -
.
Assim, no lado esquerdo os pontos, , estão na reta ; no lado direito todos os pontos com estão no eixo .
Passo 7
Instruções práticas para desenhar o gráfico (passo a passo que você pode fazer na prova):
- Desenhe eixos coordenados com origem
. - Trace a reta que passa pela origem com inclinação
apenas para . Para isso, marque e e ligue esses pontos e a origem, estendendo para a esquerda. Não continue essa reta para . - Trace a linha horizontal
(eixo ) para todo . Marque a origem também neste ramo. - Em
coloque um ponto preenchido (a função está definida em e vale ). - Verifique: o gráfico à esquerda vai subindo quando vamos para valores mais negativos de
; à direita é simplesmente o eixo .
Resposta
Gráfico: reta
para
e segmento horizontal
para
, unindo-se em
.]