4- A água flui de um reservatório (A) ao ponto (B), cuja diferença de nível é 55 metros. Na extremidade do ponto ( B ) encontra-se funcionando um aspersor tipo canhão hidráulico com uma pressão de serviço 4,0 \mathrm{Kgf} . \mathrm{cm}^{-2} e vazão de 10,54 \mathrm{~m}^{3} . \mathrm{h}^{-1}. Qual deve ser o Diâmetro da Tubulação, para atender ao pleno funcionamento do aspersor, considerando que o comprimento da tubulação é de 300 m e será usado tubo de PVC ( \mathrm{C}=140 Coef. De Hazen-Willians). Obs: desconsidere o efeito cinético.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumidos e claros):
\bullet Diferença de nível entre A e B: \Delta z=55\\ \mathrm{m}.
\bullet Na saída (aspersor) existe pressão de serviço: p=4,0\\ \mathrm{Kgf}\cdot\mathrm{cm}^{-2}.
\bullet Vazão do aspersor: Q=10,54\\ \mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{h}^{-1}.
\bullet Comprimento da tubulação: L=300\\ \mathrm{m}.
\bullet Tubulação de PVC com coeficiente de Hazen–Williams: C=140.
\bullet Obs.: desconsiderar efeito cinético (ou seja, desprezar a contribuição da energia cinética no balanço de energia).

Passo 2

Converter unidades para o sistema internacional e entender o que precisamos calcular.
\bullet Converter vazão para \mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{s}^{-1}:
Q=\frac{10,54}{3600}\\ \mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{s}^{-1}=0,0029278\\ \mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
\bullet Converter pressão de serviço ( \mathrm{Kgf}\cdot\mathrm{cm}^{-2}) para carga piezométrica (altura de coluna d’água em metros). Primeiro convertemos a pressão para \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}:
1\\ \mathrm{Kgf}\cdot\mathrm{cm}^{-2}=98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa},
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p=4{,}0\\ \mathrm{Kgf}\cdot\mathrm{cm}^{-2}=4\cdot98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}=392\,266\\ \mathrm{Pa}.
Agora a carga de pressão (carga piezométrica) em metros de coluna d’água é
h_p=\frac{p}{\rho g}=\frac{392\,266}{1000\cdot9{,}81}\\ \mathrm{m}\approx39{,}97\\ \mathrm{m}.
Aqui \rho=1000\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} é a densidade da água e g=9{,}81\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} é a gravidade.

Passo 3

Escrever o balanço de energia (de forma prática) entre o reservatório A e o ponto B, desprezando energia cinética no escoamento. A queda de carga disponível devido à diferença de nível \Delta z é usada para produzir a pressão no ponto B e suprir as perdas por atrito h_f. Assim:
h_f=\Delta z - h_p.
Substituindo valores:
h_f=55 - 39{,}97\\ \mathrm{m}=15{,}03\\ \mathrm{m}.
Portanto a perda por atrito admissível ao longo dos 300\\ \mathrm{m} de tubulação é h_f\approx15{,}03\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Explicar a fórmula de Hazen–Williams que relaciona perda de carga com vazão, comprimento, diâmetro e coeficiente C. A forma prática usada em unidades SI é:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}}
onde
\,h_f é a perda de carga (m),
\,L é o comprimento da tubulação (m),
\,Q é a vazão (m^3/s),
\,C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
\,D é o diâmetro interno da tubulação (m).
Observação didática rápida: nesta fórmula a vazão entra com expoente 1{,}852 e o diâmetro com expoente 4{,}8704; a constante 10{,}67 ajusta a fórmula às unidades do sistema internacional.

Passo 5

Isolar o diâmetro D na fórmula de Hazen–Williams para poder calcular D a partir de h_f, L, Q e C. Rearranjando:
D^{4{,}8704} = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}
e portanto
D = \left(10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}\right)^{\!\frac{1}{4{,}8704}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos na expressão e calcular passo a passo. Primeiro calculamos Q^{1{,}852} e C^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = (0,0029278)^{1{,}852}\approx2{,}03\times10^{-5}.
C^{1{,}852} = (140)^{1{,}852}\approx9{,}44\times10^{3}.
Agora o numerador e denominador dentro do parênteses:
10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852} = 10{,}67\cdot300\cdot2{,}03\times10^{-5}\approx0{,}0648.
C^{1{,}852}\cdot h_f \approx 9{,}44\times10^{3}\cdot15{,}03\approx1{,}418\times10^{5}.
A razão fica
\frac{10{,}67\,L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}\approx\frac{0{,}0648}{1{,}418\times10^{5}}\approx4{,}57\times10^{-7}.

Passo 7

Aplicar a exponenciação para obter D:
D=\left(4{,}57\times10^{-7}\right)^{\!\frac{1}{4{,}8704}}\approx0{,}0498\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros (prático para escolha comercial de tubos):
D\approx0{,}0498\\ \mathrm{m}=49{,}8\\ \mathrm{mm}\approx50\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Verificação rápida do sentido do resultado (sanidade): com D\approx0{,}05\\ \mathrm{m} a área é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}\approx\frac{\pi(0{,}05)^{2}}{4}\approx1{,}963\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2},
e a velocidade no tubo será
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0029278}{1{,}963\times10^{-3}}\approx1{,}49\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1},
valor razoável para sistemas de irrigação (nem muito pequeno que gere grande perda, nem muito grande). Assim D\approx50\\ \mathrm{mm} é um resultado consistente e utilizável.

Resposta

D \approx 0{,}050\\ \mathrm{m} = 50\\ \mathrm{mm}

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