Um grande tanque aberto contém água até uma altura h acima de um orifício na base. Assumindo fluxo ideal e velocidade da superfície desprezível: a) Deduza a expressão para a velocidade de saída do jato. b) Se a altura h quadruplicar, quantas vezes maior será a velocidade de saída?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara):
  • Dado: um grande tanque aberto contendo água com a superfície livre a uma altura h acima de um orifício na base.
  • Condições: fluxo ideal (sem viscosidade), escoamento estacionário, e a velocidade da superfície é desprezível em relação à velocidade do jato.
  • Perguntas:
    a) Deduzir a expressão para a velocidade de saída do jato.
    b) Se a altura h quadruplicar, quantas vezes maior será a velocidade de saída?

Passo 2

Ferramenta física que vamos usar (escrevendo a relação e explicando cada termo).
Entre dois pontos em um escoamento estacionário ideal e incompressível vale a conservação de energia para o fluido (forma de Bernoulli):
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante ao longo de uma linha de corrente},
onde:
  • p é a pressão do fluido no ponto (em Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (para água aproximadamente 1000\\ \text{kg/m}^{3}, mas deixamos simbólico),
  • v é a velocidade do fluido naquele ponto (em m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (em m/s ^2),
  • z é a cota vertical do ponto (em m).
Vou aplicar essa equação entre o ponto na superfície livre e o ponto no orifício.

Passo 3

Identificação dos dois pontos e valores das quantidades:
  • Ponto 1 (superfície livre): pressão p_{1}=p_{\text{atm}} (pressão atmosférica), velocidade v_{1}\approx 0 (dado: superfície muito grande, velocidade desprezível), cota z_{1}=h (altura acima do orifício).
  • Ponto 2 (orifício, saída do jato): pressão p_{2}=p_{\text{atm}} (saída livre para a atmosfera), velocidade v_{2}=v (o que queremos), cota z_{2}=0 (referência na base).

Passo 4

Aplicando Bernoulli entre 1 e 2 e substituindo os valores:
p_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho g z_{1} = p_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho g z_{2}.
Substituindo p_{1}=p_{2}=p_{\text{atm}} e v_{1}\approx 0, z_{1}=h, z_{2}=0:
p_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\rho\cdot 0^{2} + \rho g h = p_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g\cdot 0.
Os termos p_{\text{atm}} cancelam; resta:
\rho g h = \tfrac{1}{2}\rho v^{2}.

Passo 5

Isolando v da equação obtida. Primeiro dividir ambos os lados por \rho (não nulo):
g h = \tfrac{1}{2} v^{2}.
Multiplicando por 2 e tirando raiz quadrada:
v^{2} = 2 g h \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2 g h}.
Esta é a expressão clássica (conhecida como Teorema de Torricelli): a velocidade de saída do jato é \sqrt{2 g h}. Interpretação física: a energia potencial por unidade de massa g h é convertida na energia cinética \tfrac{1}{2}v^{2} do jato.

Passo 6

Condições de validade e observações práticas (como comentar na prova):
  • A fórmula v=\sqrt{2 g h} vale sob as hipóteses usadas: fluido incompressível e não viscoso, escoamento estacionário, pressão atmosférica igual na superfície e na saída, e velocidade da superfície desprezível.
  • Se a abertura for grande em relação à superfície do tanque, a hipótese v_{1}\approx 0 falha; aí seria preciso usar continuidade para relacionar v_{1} e v_{2}.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se h=1\\ \text{m} e g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^{2}, então v=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1}\approx 4{,}43\\ \text{m/s}.

Passo 7

Resposta à parte (b) sobre quadruplicar h.
Se h passa para 4h, a nova velocidade v' é
v'=\sqrt{2 g (4h)}=\sqrt{4}\,\sqrt{2 g h}=2\sqrt{2 g h}=2v.
Portanto, ao quadruplicar a altura h, a velocidade de saída fica 2 vezes maior (duplica). Intuição: v cresce com a raiz quadrada de h.

Resposta

v=\sqrt{2 g h}
2 vezes maior

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