Um grande tanque aberto contém água até uma altura
acima de um orifício na base. Assumindo fluxo ideal e velocidade da superfície desprezível: a) Deduza a expressão para a velocidade de saída do jato. b) Se a altura
quadruplicar, quantas vezes maior será a velocidade de saída?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara):
- Dado: um grande tanque aberto contendo água com a superfície livre a uma altura
acima de um orifício na base. - Condições: fluxo ideal (sem viscosidade), escoamento estacionário, e a velocidade da superfície é desprezível em relação à velocidade do jato.
- Perguntas:
a) Deduzir a expressão para a velocidade de saída do jato.
b) Se a alturaquadruplicar, quantas vezes maior será a velocidade de saída?
Passo 2
Ferramenta física que vamos usar (escrevendo a relação e explicando cada termo).
Entre dois pontos em um escoamento estacionário ideal e incompressível vale a conservação de energia para o fluido (forma de Bernoulli):
Entre dois pontos em um escoamento estacionário ideal e incompressível vale a conservação de energia para o fluido (forma de Bernoulli):
onde:
-
é a pressão do fluido no ponto (em Pa), -
é a densidade do fluido (para água aproximadamente , mas deixamos simbólico), -
é a velocidade do fluido naquele ponto (em m/s), -
é a aceleração da gravidade (em m/s ), -
é a cota vertical do ponto (em m).
Vou aplicar essa equação entre o ponto na superfície livre e o ponto no orifício.
Passo 3
Identificação dos dois pontos e valores das quantidades:
- Ponto 1 (superfície livre): pressão
(pressão atmosférica), velocidade (dado: superfície muito grande, velocidade desprezível), cota (altura acima do orifício). - Ponto 2 (orifício, saída do jato): pressão
(saída livre para a atmosfera), velocidade (o que queremos), cota (referência na base).
Passo 4
Aplicando Bernoulli entre 1 e 2 e substituindo os valores:
Substituindo
e
,
,
:
Os termos
cancelam; resta:
Passo 5
Isolando
da equação obtida. Primeiro dividir ambos os lados por
(não nulo):
Multiplicando por
e tirando raiz quadrada:
Esta é a expressão clássica (conhecida como Teorema de Torricelli): a velocidade de saída do jato é
. Interpretação física: a energia potencial por unidade de massa
é convertida na energia cinética
do jato.
Passo 6
Condições de validade e observações práticas (como comentar na prova):
- A fórmula
vale sob as hipóteses usadas: fluido incompressível e não viscoso, escoamento estacionário, pressão atmosférica igual na superfície e na saída, e velocidade da superfície desprezível. - Se a abertura for grande em relação à superfície do tanque, a hipótese
falha; aí seria preciso usar continuidade para relacionar e . - Exemplo numérico rápido para fixar: se
e , então .
Passo 7
Resposta à parte (b) sobre quadruplicar
.
Se passa para
, a nova velocidade
é
Se
Portanto, ao quadruplicar a altura
, a velocidade de saída fica
vezes maior (duplica). Intuição:
cresce com a raiz quadrada de
.