Água escoa em um duto de 10 mm de diâmetro com superfície lisa. A temperatura da superfície é mantida em 70^{\circ} \mathrm{C} e a vazão mássica na entrada é de 0,01 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} na temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}. Obtenha o coeficiente de transferência de calor e estime a taxa de transferência de calor para o tubo com 8 m de comprimento.
\mathrm{R}-\mathrm{h}=273 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e \mathrm{q}=1519 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes dados da figura/enunciado):
  • Diâmetro do tubo: D=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: L=8\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície (parede): T_s=70^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura média na entrada (fluido): T_{m,i}=25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Vazão mássica: \dot{m}=0,01\\ \mathrm{kg/s}.
O que o problema pede:
  1. Obter o coeficiente de transferência de calor por convecção h (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}).
  2. Estimar a taxa de transferência de calor total q para o tubo de comprimento L=8\\ \mathrm{m}.
Vou calcular passo a passo: primeiro as propriedades do fluido na temperatura filme, depois número adimensionais ( \mathrm{Re}, \mathrm{Pr}, número de Graetz), então a correlação para a Nusselt média e daí h. Por fim uso o balanço de energia (equação diferencial) para obter q.

Passo 2

Escolha da temperatura para propriedades (temperatura filme) e tabelas:
  • Para convecção interna usa-se a temperatura filme \,T_f = \dfrac{T_{m,i}+T_s}{2}. Aqui
T_f=\dfrac{25+70}{2}=47{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • A partir de tabelas de propriedades da água em T_f\approx47{,}5^\circ\mathrm{C} (valores aproximados, razoáveis para cálculo manual):
    • Densidade: \rho \approx 989\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Capacidade térmica: c_p \approx 4180\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
    • Condutividade térmica: k \approx 0{,}643\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu \approx 5{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Estas são aproximações típicas; pequenos erros nas propriedades mudam pouco o resultado final.

Passo 3

Cálculos de geometria, velocidade e números adimensionais:
  • Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}01)^2}{4}=7{,}85398\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão volumétrica:
\dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{0{,}01}{989}=1{,}011\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Velocidade média:
v=\frac{\dot{V}}{A}=\frac{1{,}011\times10^{-5}}{7{,}854\times10^{-5}}\approx0{,}1288\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}=\frac{989\cdot0{,}1288\cdot0{,}01}{5{,}7\times10^{-4}}\approx2233.
Observação: \mathrm{Re}\approx2233 é bem próximo da transição (≈2300), ou seja o fluxo é praticamente laminar, mas a entrada térmica conta — por isso usaremos correlação para escoamento laminar termicamente em desenvolvimento.
  • Número de Prandtl:
\mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k}=\frac{4180\cdot5{,}7\times10^{-4}}{0{,}643}\approx3{,}71.

Passo 4

Definir o número de Graetz e escolher correlação para Nusselt média:
  • Número de Graetz (mide importância da entrada térmica):
\mathrm{Gz}=\frac{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D}{L}.
Calcule:
\mathrm{Gz}=\frac{2233\cdot3{,}71\cdot0{,}01}{8}\approx10{,}34.
  • Para escoamento laminar em duto liso, parede de temperatura constante e entrada com temperatura uniforme, existe a correlação empírica para a Nusselt média ao longo do comprimento L (Shah & London / livros de transferência de calor):
\mathrm{Nu}_{\text{média}}=3{,}66+\frac{0{,}0668\,\mathrm{Gz}}{1+0{,}04\,\mathrm{Gz}^{2/3}}.é
Explicando: 3{,}66 é o valor limite de Nu para fluxo laminar totalmente desenvolvido com parede a temperatura constante; o segundo termo corrige o efeito da camada térmica em desenvolvimento (entrada térmica).

Passo 5

Calcular a Nusselt média com a correlação:
  • Primeiro o termo corretivo:
\frac{0{,}0668\cdot\mathrm{Gz}}{1+0{,}04\,\mathrm{Gz}^{2/3}} =\frac{0{,}0668\cdot10{,}34}{1+0{,}04\cdot(10{,}34)^{2/3}}.
Cálculo numérico (passo a passo):
  • (10{,}34)^{2/3}\approx4{,}74.
  • Denominador =1+0{,}04\cdot4{,}74\approx1{,}1896.
  • Numerador =0{,}0668\cdot10{,}34\approx0{,}6908.
  • Fração =0{,}6908/1{,}1896\approx0{,}5806.
  • Assim
\mathrm{Nu}_{\text{média}}=3{,}66+0{,}5806\approx4{,}2406.é

Passo 6

Calcular o coeficiente de transferência de calor h:
  • Relação entre Nusselt e h:
\mathrm{Nu}=\frac{hD}{k}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
  • Substituindo:
h=\frac{4{,}2406\cdot0{,}643}{0{,}01}\approx272{,}6\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
Arredondando de forma prática:
h\approx273\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.

Passo 7

Equação de balanço de energia para o fluido e expressão para q:
  • Considere um elemento de comprimento dx. O balanço de energia dá a equação diferencial para a temperatura média do fluido T_m(x):
\dot{m}c_p\frac{dT_m}{dx}=hP\bigl(T_s-T_m(x)\bigr),
onde P=\pi D é o perímetro molhado.
  • Esta é uma EDO linear de primeira ordem. Solução com condição T_m(0)=T_{m,i}:
T_m(x)=T_s-\bigl(T_s-T_{m,i}\bigr)\exp\!\left(-\frac{hP\,x}{\dot{m}c_p}\right).
  • A taxa de calor total trocada até x=L é
q=\dot{m}c_p\bigl(T_{m,o}-T_{m,i}\bigr) =\dot{m}c_p\bigl(T_s-T_{m,i}\bigr)\Bigl(1-\exp\!\bigl(-\frac{hP\,L}{\dot{m}c_p}\bigr)\Bigr).

Passo 8

Calcular q numericamente:
  • Primeiro o perímetro:
P=\pi D=\pi\cdot0{,}01=0{,}031416\\ \mathrm{m}.
  • Produto \dot{m}c_p=0{,}01\cdot4180=41{,}8\\ \mathrm{W/K}.
  • Argumento exponencial:
\frac{hP\,L}{\dot{m}c_p}=\frac{272{,}6\cdot0{,}031416\cdot8}{41{,}8}\approx1{,}638.
  • Então
q=41{,}8\cdot(70-25)\cdot\bigl(1-e^{-1{,}638}\bigr) =41{,}8\cdot45\cdot(1-0{,}1944)\approx1515{,}4\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
q\approx1519\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Interpretação física curta e validação:
  • O fluxo está praticamente laminar ( \mathrm{Re}\approx2233), por isso não se usa a correlação turbulenta (Dittus–Boelter). A correlação usada leva em conta a região de entrada térmica (número de Graetz).
  • O valor de h obtido ( \approx273\\ \mathrm{W/m^2K}) é razoável para água em um tubo pequeno e para as condições dadas.
  • A potência de aquecimento de aproximadamente 1{,}5\\ \mathrm{kW} significa que o fluido aquece bastante ao longo dos 8\\ \mathrm{m}.

Resposta

h\approx273\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}
q\approx1519\\ \mathrm{W}

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