Foi realizado um experimento de filtração com suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} onde foram calculados a resistência do meio filtrante e resistividade da torta, obtendo-se os valores de 9,1 \cdot 10^{9} \mathrm{~cm}^{-1} e 8 \cdot 10^{9} \mathrm{cm} / \mathrm{g}, respectivamente. Ao final obtiveram o volume de filtrado de 2 litros em 2051 segundos de experimento. Sabendo que:
\begin{array}{ll} \mu=0,012 \mathrm{~g} /(\mathrm{cm} \cdot \mathrm{~s}) & \rho=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \\\ \mathrm{c}=0,111 \mathrm{~g} / \mathrm{g} & \Delta \mathrm{P}=3 \cdot 040 \cdot 800,00 \text { dyne } / \mathrm{cm}^{2} \end{array}
Calcule (em cm) o diâmetro do meio filtrante, justificando a sua resposta.
Observação: dyne =\mathrm{g} \cdot \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Tempo total de filtrado: t=2051\\ \mathrm{s}.
    • Volume total de filtrado: V=2\\ \mathrm{L}=2000\\ \mathrm{cm}^{3}.
    • Viscosidade do líquido: \mu=0,012\\ \mathrm{g}/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm{s}).
    • Densidade do líquido: \rho=1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} (não será necessária para as contas principais, mas está informada).
    • Concentração de sólidos na suspensão: c=0,111\\ \mathrm{g}/\mathrm{g}.
    • Resistência do meio filtrante (meio):
      \displaystyle R_{m}=9{,}1\cdot 10^{9}\\ \mathrm{cm}^{-1}.
    • Resistividade da torta (também chamada de resistência específica do meio sólido):
      \displaystyle r=8\cdot 10^{9}\\ \mathrm{cm}/\mathrm{g}.
    • Queda de pressão aplicada: \displaystyle \Delta P=3{,}040{,}800{,}00\\ \text{dyne}/\mathrm{cm}^{2}. Interpreto isso como \Delta P=3{,}040{,}800\\ \mathrm{dyne}/\mathrm{cm}^{2} (ou \Delta P=3{,}040{,}800\\ \mathrm{g}/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm{s}^{2})), unidade compatível com o sistema c.g.s.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o diâmetro do meio filtrante (assumindo um filtro circular), ou seja, encontrar o diâmetro d cuja área de filtração A satisfaz os dados experimentais.

Passo 2

Apresentar a equação de filtração (processo de filtração com pressão constante) e explicar cada termo.
Para uma filtração a pressão constante, formando torta, a equação clássica que relaciona tempo t e volume filtrado V é
t=\frac{\mu\, r\, c}{2\,A^{2}\,\Delta P}\,V^{2}+\frac{\mu\,R_{m}}{A\,\Delta P}\,V.
Explicando cada símbolo e por que esta equação vale:
  • \mu é a viscosidade do fluido ( \mathrm{g}/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm{s}) no sistema c.g.s., mesma unidade de poise).
  • r é a resistividade da torta (às vezes denotada \alpha em literatura), com unidade \mathrm{cm}/\mathrm{g}. Ela relaciona a resistência específica da torta com a quantidade de sólidos por volume de filtrado.
  • c é a concentração de sólidos na suspensão, em \mathrm{g} de sólidos por \mathrm{g} de suspensão (aqui adimensional).
  • A é a área de filtração (a incógnita aparece aqui).
  • \Delta P é a queda de pressão aplicada (dyne/ \mathrm{cm}^{2}).
  • R_{m} é a resistência do meio filtrante (meio), com unidade \mathrm{cm}^{-1}.
  • O primeiro termo ( \propto V^{2}) representa a contribuição do aumento da torta (resistência que cresce com a massa de sólidos retida). O segundo termo ( \propto V) é a perda por resistência do próprio meio filtrante (constante).
Observação metodológica: aqui temos uma equação quadrática em 1/A. A estratégia será colocar x=1/A e resolver a equação quadrática resultante para x, então obter A e, finalmente, o diâmetro d pelo relacionamento de área de um círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.

Passo 3

Reescrever a equação em função de x=1/A e montar a equação quadrática.
Substituindo x=1/A na equação de filtração:
t=\frac{\mu r c}{2\Delta P}V^{2}x^{2}+\frac{\mu R_{m}}{\Delta P}V\,x.
Colocando na forma padrão a x^{2}+b x+c=0, trazemos todos os termos para o mesmo lado:
\frac{\mu r c}{2\Delta P}V^{2}x^{2}+\frac{\mu R_{m}}{\Delta P}V\,x - t = 0.
Definimos para simplificar:
a=\frac{\mu r c}{2\Delta P}V^{2},\qquad b=\frac{\mu R_{m}}{\Delta P}V,\qquad c=-t.
Resolveremos essa quadrática para x (a raiz positiva que faz sentido físico) e então A=1/x.

Passo 4

Converter os dados e substituir valores numéricos nas expressões para a e b. (Todas as quantidades numéricas serão inseridas em c.g.s. conforme já estão.)
Dados numéricos usados:
\begin{aligned} \mu&=0{,}012,\\\ r&=8{,}0\cdot 10^{9},\\\ c&=0{,}111,\\\ \Delta P&=3{,}040{,}800,\\\ R_{m}&=9{,}1\cdot 10^{9},\\\ V&=2000\\ (\mathrm{cm}^{3}),\\\ t&=2051\\ (\mathrm{s}). \end{aligned}
Calculemos primeiro os coeficientes auxiliares (vou mostrar as contas passo a passo, como pedirias na prova):
Calcular \mu r:
\mu r = 0{,}012 \times 8{,}0\cdot 10^{9} = 9{,}6\cdot 10^{7}.
Multiplicar por c:
\mu r c = 9{,}6\cdot 10^{7}\times 0{,}111 = 1{,}0656\cdot 10^{7}.
Calcular 2\Delta P:
2\Delta P = 2\times 3{,}040{,}800 = 6{,}081{,}600.
Portanto
\frac{\mu r c}{2\Delta P}=\frac{1{,}0656\cdot 10^{7}}{6{,}081{,}600}\approx 1{,}752\quad(\text{unidade numérica ajustada}).é
Agora a=\dfrac{\mu r c}{2\Delta P}V^{2}:
a=1{,}752\times (2000)^{2}=1{,}752\times 4{,}000{,}000=7{,}008{,}000\approx 7{,}008\cdot 10^{6}.
Agora calculamos b=\dfrac{\mu R_{m}}{\Delta P}V.
Primeiro \mu R_{m}:
\mu R_{m}=0{,}012\times 9{,}1\cdot 10^{9}=1{,}092\cdot 10^{8}.
Dividindo por \Delta P:
\frac{\mu R_{m}}{\Delta P}=\frac{1{,}092\cdot 10^{8}}{3{,}040{,}800}\approx 35{,}90.
Então
b=\left(\frac{\mu R_{m}}{\Delta P}\right)V\approx 35{,}90\times 2000=71{,}800.
Resumo dos coeficientes numéricos:
a\approx 7{,}008\cdot 10^{6},\qquad b\approx 7{,}1800,\qquad c=-2051.
(Observe que b escrito como 71{,}800.)

Passo 5

Resolver a quadrática para x.
A equação é
a x^{2}+b x - t = 0,
com a\approx 7{,}008\cdot 10^{6}, b\approx 71{,}800, e t=2051.
A fórmula de Bhaskara para x (lembrando que o termo independente é -t) dá:
x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}+4 a t}}{2 a},
(escolhemos o sinal + diante da raiz porque com o termo independente negativo a raiz com o sinal “+” que resulta em x>0 é a física).
Calculemos o discriminante:
b^{2}=(71{,}800)^{2}=5{,}155{,}240{,}000\approx 5{,}15524\cdot 10^{9}.
4 a t =4\times 7{,}008\cdot 10^{6}\times 2051 \approx 5{,}749{,}363{,}200\approx 5{,}74936\cdot 10^{9}.
b^{2}+4 a t \approx 5{,}15524\cdot 10^{9}+5{,}74936\cdot 10^{10}=6{,}26488\cdot 10^{10}.
Raiz:
\sqrt{b^{2}+4 a t}\approx \sqrt{6{,}26488\cdot 10^{10}}\approx 2{,}50298\cdot 10^{5}\approx 250{,}298.
Agora x:
x=\frac{-71{,}800+250{,}298}{2\times 7{,}008\cdot 10^{6}}=\frac{178{,}498}{14{,}016{,}000}\approx 0{,}012734.
Assim
x\approx 0{,}012734\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{x}\approx\frac{1}{0{,}012734}\approx 78{,}55\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 6

Calcular o diâmetro d a partir da área A (assumindo filtro circular).
Relação entre área e diâmetro:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Substituindo A\approx 78{,}55\\ \mathrm{cm}^{2}:
d=\sqrt{\frac{4\times 78{,}55}{\pi}}=\sqrt{\frac{314{,}2}{\pi}}.
Calculando numericamente:
\frac{314{,}2}{\pi}\approx \frac{314{,}2}{3{,}14159265}\approx 100,
portanto
d\approx \sqrt{100}=10\\ \mathrm{cm}.
(É agradável quando as contas dão um número redondo — mostra que os dados estavam consistentes.)

Resposta

10\\ \mathrm{cm}

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