Foi realizado um experimento de filtração com suspensão de
onde foram calculados a resistência do meio filtrante e resistividade da torta, obtendo-se os valores de
e
, respectivamente. Ao final obtiveram o volume de filtrado de 2 litros em 2051 segundos de experimento. Sabendo que:
Calcule (em cm) o diâmetro do meio filtrante, justificando a sua resposta.
Observação: dyne
.
Observação: dyne
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
-
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
-
Tempo total de filtrado:
. -
Volume total de filtrado:
. -
Viscosidade do líquido:
. -
Densidade do líquido:
(não será necessária para as contas principais, mas está informada). -
Concentração de sólidos na suspensão:
. -
Resistência do meio filtrante (meio):
-
Resistividade da torta (também chamada de resistência específica do meio sólido):
-
Queda de pressão aplicada:
. Interpreto isso como (ou ), unidade compatível com o sistema c.g.s.
-
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o diâmetro do meio filtrante (assumindo um filtro circular), ou seja, encontrar o diâmetro
cuja área de filtração satisfaz os dados experimentais.
- Calcular o diâmetro do meio filtrante (assumindo um filtro circular), ou seja, encontrar o diâmetro
Passo 2
Apresentar a equação de filtração (processo de filtração com pressão constante) e explicar cada termo.
Para uma filtração a pressão constante, formando torta, a equação clássica que relaciona tempo
e volume filtrado
é
Explicando cada símbolo e por que esta equação vale:
-
é a viscosidade do fluido ( no sistema c.g.s., mesma unidade de poise). -
é a resistividade da torta (às vezes denotada em literatura), com unidade . Ela relaciona a resistência específica da torta com a quantidade de sólidos por volume de filtrado. -
é a concentração de sólidos na suspensão, em de sólidos por de suspensão (aqui adimensional). -
é a área de filtração (a incógnita aparece aqui). -
é a queda de pressão aplicada (dyne/ ). -
é a resistência do meio filtrante (meio), com unidade . - O primeiro termo (
) representa a contribuição do aumento da torta (resistência que cresce com a massa de sólidos retida). O segundo termo ( ) é a perda por resistência do próprio meio filtrante (constante).
Observação metodológica: aqui temos uma equação quadrática em
. A estratégia será colocar
e resolver a equação quadrática resultante para
, então obter
e, finalmente, o diâmetro
pelo relacionamento de área de um círculo:
Passo 3
Reescrever a equação em função de
e montar a equação quadrática.
Substituindo
na equação de filtração:
Colocando na forma padrão
, trazemos todos os termos para o mesmo lado:
Definimos para simplificar:
Resolveremos essa quadrática para
(a raiz positiva que faz sentido físico) e então
.
Passo 4
Converter os dados e substituir valores numéricos nas expressões para
e
. (Todas as quantidades numéricas serão inseridas em c.g.s. conforme já estão.)
Dados numéricos usados:
Calculemos primeiro os coeficientes auxiliares (vou mostrar as contas passo a passo, como pedirias na prova):
Calcular
:
Multiplicar por
:
Calcular
:
Portanto
Agora
:
Agora calculamos
.
Primeiro
:
Dividindo por
:
Então
Resumo dos coeficientes numéricos:
(Observe que
escrito como
.)
Passo 5
Resolver a quadrática para
.
A equação é
com
,
, e
.
A fórmula de Bhaskara para
(lembrando que o termo independente é
) dá:
(escolhemos o sinal
diante da raiz porque com o termo independente negativo a raiz com o sinal “+” que resulta em
é a física).
Calculemos o discriminante:
Raiz:
Agora
:
Assim
Passo 6
Calcular o diâmetro
a partir da área
(assumindo filtro circular).
Relação entre área e diâmetro:
Substituindo
:
Calculando numericamente:
portanto
(É agradável quando as contas dão um número redondo — mostra que os dados estavam consistentes.)