O esquema a seguir descreve um Tubo de Pitot localizado no centro de um duto de 200 mm de diâmetro, empregado para transferência de gasolina.
Considerando que a razão entre as velocidades média e máxima é 0,8 para o intervalo de interesse, calcule a vazão de gasolina, \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}.
Dados:
\begin{aligned} & \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \\\ & \rho_{\text {gasolina }}=670 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \\\ & \mathrm{~g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a vazão de gasolina, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Diâmetro do duto: D=200\\ \mathrm{mm}=0,200\\ \mathrm{m}.
  • Razão entre velocidade média e máxima: \dfrac{v_{\text{média}}}{v_{\text{máx}}}=0,8éá.
  • Densidades e gravidade:
    • \rho_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
    • \rho_{\text{gasolina}}=670\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
    • g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Informação necessária que não foi fornecida (presente no esquema não enviado):
  • Leitura do tubo de Pitot/manômetro: a diferença de altura h (ou, equivalentemente, a diferença de pressão \Delta p) indicada pelo esquema. Sem esse valor numérico a vazão não pode ser calculada numericamente.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática e passo a passo).
  • Um tubo de Pitot no centro mede a diferença entre pressão total (estagnação) e pressão estática naquele ponto. Pela equação de Bernoulli (entre um ponto no escoamento e o ponto de estagnação no mesmo nível, assumindo escoamento incompressível e sem perda):
p_0 = p + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{gasolina}} v_{\text{máx}}^2,á
onde:
  • p_0 é a pressão de estagnação (no tubo de Pitot),
  • p é a pressão estática no mesmo ponto,
  • \rho_{\text{gasolina}} é a densidade da gasolina,
  • v_{\text{máx}}á é a velocidade máxima local (centro do duto).
  • Assim, a diferença de pressão medida pelo Pitot é a pressão dinâmica:
\Delta p \equiv p_0 - p = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{gasolina}} v_{\text{máx}}^2.á
Explicação: Isso vem direto de Bernoulli; a energia dinâmica por unidade de volume é \tfrac{1}{2}\rho v^2 e corresponde à pressão que se perde quando o fluido é trazido a repouso.

Passo 3

Relação entre a diferença de pressão \Delta p e a leitura do manômetro (explicação hydrostática).
  • Quando a diferença de pressão \Delta p é medida por um manômetro em U preenchido por um fluido de densidade \rho_{\mathrm{man}} (aqui: água, \rho_{\mathrm{man}}=\rho_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), com os dois lados conectados aos pontos de estagnação e estático, a diferença de pressão aparece como uma diferença de níveis h entre as colunas do manômetro.
  • Para o caso clássico em que o fluido do escoamento (gasolina) tem densidade \rho_{\text{gasolina}} e o manométrico tem densidade \rho_{\mathrm{man}}, a relação por equilíbrio hidrostático é
\Delta p = ( \rho_{\mathrm{man}} - \rho_{\text{gasolina}} )\, g\, h.
Breve justificativa física (sem jargões): a coluna mais pesada (água) “puxa” mais para baixo e a diferença de pressão necessária para sustentar essa diferença de níveis é proporcional à diferença entre as densidades multiplicada por g e pela altura h.

Passo 4

Combinar as duas relações para obter v_{\text{máx}}á em função de h.
  • Igualando as expressões de \Delta p:
\tfrac{1}{2}\rho_{\text{gasolina}} v_{\text{máx}}^2 = (\rho_{\mathrm{man}} - \rho_{\text{gasolina}})\, g\, h.á
  • Isolando v_{\text{máx}}á:
v_{\text{máx}} = \sqrt{ \dfrac{2(\rho_{\mathrm{man}} - \rho_{\text{gasolina}})\, g\, h}{\rho_{\text{gasolina}}} }.á
  • Substituindo \rho_{\mathrm{man}}=\rho_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e \rho_{\text{gasolina}}=670\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 (aqui ainda deixando h simbólico):
v_{\text{máx}} = \sqrt{ \dfrac{2(1000-670)\times 10 \; h}{670} } = \sqrt{ \dfrac{6600}{670}\, h }.á
  • Avaliando a constante numérica:
\dfrac{6600}{670} \approx 9{,}850746\quad\Rightarrow\quad v_{\text{máx}} \approx 3{,}1387\sqrt{h},á
onde v_{\text{máx}}á está em \mathrm{m}/\mathrm{s} se h estiver em metros.

Passo 5

Passar de v_{\text{máx}}á para vazão volumétrica Q.
  • Velocidade média: \displaystyle v_{\text{média}}=0,8\, v_{\text{máx}}éá (dado).
  • Área do duto:
A = \dfrac{\pi D^2}{4} = \dfrac{\pi (0{,}200)^2}{4} = 0{,}01\pi \\ \mathrm{m}^2 \approx 0{,}0314159\\ \mathrm{m}^2.
  • Vazão:
Q = v_{\text{média}}\; A = 0{,}8\, v_{\text{máx}}\; A = 0{,}8\; A \; \sqrt{ \dfrac{2(\rho_{\mathrm{man}} - \rho_{\text{gasolina}})\, g\, h}{\rho_{\text{gasolina}}} }.éá
  • Substituindo os valores numéricos (mantendo h simbólico) e calculando o coeficiente:
Q \approx 0{,}0789\\ \sqrt{h}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
onde h está em metros. (Cálculo do coeficiente: 0{,}8\times 0{,}01\pi \times 3{,}1387 \approx 0{,}0789.)

Passo 6

Conclusão prática e observação final.
  • Não é possível fornecer um valor numérico final de Q sem a leitura do esquema: falta o valor da diferença de nível h (ou outra indicação equivalente da diferença de pressão \Delta p) que o esquema do manômetro/Pitot forneceria.
  • Se for informado o valor de h (em metros), basta substituir em
Q \approx 0{,}0789\\ \sqrt{h}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
para obter a vazão numérica. Exemplo rápido (apenas ilustrativo): se h=0{,}01\\ \mathrm{m} então Q\approx 0{,}0789\sqrt{0{,}01}=0{,}0789\times 0{,}1=0{,}00789\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Resposta

Q \approx 0{,}0789\\ \sqrt{h}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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