- O campo de velocidade é dado por
, em que
e
está em metros e
em segundos. Em
, encontre a equação da linha de corrente que passa no ponto (
). Obs.:
é o número de Euler.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- O campo de velocidade é
em . - Os parâmetros valem
e . - As variáveis são
em metros e em segundos. - Devemos encontrar, em
, a equação da linha de corrente que passa pelo ponto , onde é o número de Euler. - Pedido explícito: achar a equação
da linha de corrente no instante que satisfaz passar por .
Passo 2
O que é uma linha de corrente (explicação didática e por que usar uma equação diferencial):
- Numa foto do campo de velocidade em um instante fixo
, a linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. - Se representarmos a curva como
(para o mesmo instante fixo), a inclinação da curva é . - A condição de tangência dá a fórmula padrão (mostrando o raciocínio): os componentes da velocidade são
e ao longo de algum parâmetro da curva, portanto
onde
é a componente
da velocidade e
a componente
. Logo, para uma linha de corrente em tempo fixo
vale
- Resumindo: para achar a linha de corrente em
basta avaliar as componentes do campo naquele instante e resolver a equação diferencial ordinária com condição inicial .
Passo 3
Avaliar as componentes do campo em
:
- A componente
do campo é . Com temos
- A componente
do campo é . Com e obtemos
- Portanto, no instante
o campo é .
Passo 4
Formular a equação diferencial da linha de corrente em
:
- Usando
e os valores do passo anterior:
- Obtivemos a EDO separável
Passo 5
Resolver a EDO passo a passo (técnica de separação de variáveis):
- Separar as variáveis:
- Integrar ambos os lados:
- As integrais dão
onde
é constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados:
onde
e
se considerarmos
. (No nosso ponto inicial
, então não precisamos do valor absoluto.)
Passo 6
Determinar a constante usando a condição de passar por
:
- Substituir
e em :
- Logo
Passo 7
Escrever a equação final da linha de corrente:
- Substituindo
em obtemos