2(1,0) - O campo de velocidade é dado por \vec{V}(y, t)=\left\langle a, b y t^{2}\right\rangle(\mathrm{m} / \mathrm{s}), em que a=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e b=1 \mathrm{~s}^{-3}, y está em metros e t em segundos. Em t=1 \mathrm{~s}, encontre a equação da linha de corrente que passa no ponto ( 1, e ). Obs.: e é o número de Euler.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • O campo de velocidade é \vec{V}(y,t)=\langle a,\, b\,y\,t^{2}\rangle em \mathrm{m/s}.
  • Os parâmetros valem \;a=1\\ \mathrm{m/s} e \;b=1\\ \mathrm{s}^{-3}.
  • As variáveis são y em metros e t em segundos.
  • Devemos encontrar, em t=1\\ \mathrm{s}, a equação da linha de corrente que passa pelo ponto (1,e), onde e é o número de Euler.
  • Pedido explícito: achar a equação y(x) da linha de corrente no instante t=1\\ \mathrm{s} que satisfaz passar por (1,e).

Passo 2

O que é uma linha de corrente (explicação didática e por que usar uma equação diferencial):
  • Numa foto do campo de velocidade em um instante fixo t, a linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.
  • Se representarmos a curva como y=y(x) (para o mesmo instante t fixo), a inclinação da curva é \dfrac{dy}{dx}.
  • A condição de tangência dá a fórmula padrão (mostrando o raciocínio): os componentes da velocidade são \dfrac{dx}{ds} e \dfrac{dy}{ds} ao longo de algum parâmetro s da curva, portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{ds}}{\dfrac{dx}{ds}}=\frac{v}{u},
onde u é a componente x da velocidade e v a componente y. Logo, para uma linha de corrente em tempo fixo t vale
\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y,t)}{u(x,y,t)}.
  • Resumindo: para achar a linha de corrente em t=1 basta avaliar as componentes do campo naquele instante e resolver a equação diferencial ordinária \dfrac{dy}{dx}=v/u com condição inicial (1,e).

Passo 3

Avaliar as componentes do campo em t=1:
  • A componente x do campo é u=a. Com a=1\\ \mathrm{m/s} temos
u=1.
  • A componente y do campo é v=b\,y\,t^{2}. Com b=1\\ \mathrm{s}^{-3} e t=1\\ \mathrm{s} obtemos
v = 1\cdot y\cdot 1^{2}=y.
  • Portanto, no instante t=1 o campo é \vec{V}(y,1)=\langle 1,\, y\rangle.

Passo 4

Formular a equação diferencial da linha de corrente em t=1:
  • Usando \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v}{u} e os valores do passo anterior:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1}=y.
  • Obtivemos a EDO separável
\frac{dy}{dx}=y.

Passo 5

Resolver a EDO passo a passo (técnica de separação de variáveis):
  • Separar as variáveis:
\frac{1}{y}\,dy = dx.
  • Integrar ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 1\,dx.
  • As integrais dão
\ln|y| = x + C,
onde C é constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados:
y = C' e^{x},
onde C' = e^{C} e C'>0 se considerarmos y>0. (No nosso ponto inicial y=e>0, então não precisamos do valor absoluto.)

Passo 6

Determinar a constante usando a condição de passar por (1,e):
  • Substituir x=1 e y=e em y=C' e^{x}:
e = C' e^{1}.
  • Logo
C' = \frac{e}{e}=1.

Passo 7

Escrever a equação final da linha de corrente:
  • Substituindo C'=1 em y=C'e^{x} obtemos
y = e^{x}.

Resposta

y=e^{x}

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