Problema 14. Em uma haste cilíndrica de combustível de um reator nuclear, o calor é gerado internamente de acordo com a equação:
Em que
é a taxa local de geração de calor por unidade de volume em r
ro é o raio externo
é a taxa de geração de calor por unidade de volume na linha de centro
Determine a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura neste sistema com geração interna de energia, da seguinte forma:
ro é o raio externo
Determine a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura neste sistema com geração interna de energia, da seguinte forma:
Passo 1
O que o problema pede: determinar a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura
em uma haste cilíndrica com geração volumétrica de calor dada, e mostrar que ela é
Informações fornecidas:
- A geração volumétrica local de calor é
onde
é a taxa de geração de calor por unidade de volume no ponto de raio
,
é a geração no centro, e
é o raio externo da haste.
- A condutividade térmica do material é
(assumimos constante). - Queremos a equação diferencial em coordenadas cilíndricas apenas na direção radial
.
Passo 2
Assunções e definições (necessárias para montar o balanço de energia):
- Estado estacionário (temperatura não depende do tempo).
- Simetria axial e circunferencial:
somente; não há variação em nem em . - Condução térmica descrita pela lei de Fourier em radial: o fluxo de calor radial
(potência atravessando uma superfície cilíndrica de raio e comprimento ) é
onde
é a área através da qual o calor atravessa. Para uma haste de comprimento
,
(Obs.: podemos tomar
unidade de comprimento se quisermos, porque ela cancela no balanço; mantenho
para clareza.)
Vou explicar a lei de Fourier rapidamente: ela diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura e à área. A constante de proporcionalidade é
, sendo o sinal negativo porque o calor flui no sentido de decrescimento de
.
Passo 3
Balanço de energia num elemento cilíndrico entre
e
(comprimento
):
- Potência que entra pela superfície interna:
. - Potência que sai pela superfície externa:
. - Potência gerada no volume do casquete cilíndrico:
. O volume do anel é . Logo a geração total no anel é
Aplicando conservação de energia (entrada - saída + geração = 0) em regime estacionário:
Substituindo
e simplificando, ao dividir por
e fazer o limite
, obtemos
Passo 4
Agora substituímos a expressão de
dada pela lei de Fourier:
Calcule o derivado de
em relação a
. Como
e
são constantes:
Substituindo esse resultado no balanço obtido no passo anterior:
Ou seja,
Passo 5
Divida a equação anterior por
(que é não nula) para simplificar:
Rearranjando:
Este é o formato geral da equação diferencial para o problema com geração volumétrica em coordenadas cilíndricas — explico: é a forma 1D radial da equação de Poisson para condução, onde o lado direito contém a geração interna dividida por
e multiplicada por
.
Passo 6
Agora substituímos a expressão específica dada para
,
na equação do passo anterior. Isso fornece a equação diferencial final procurada: