Problema 14. Em uma haste cilíndrica de combustível de um reator nuclear, o calor é gerado internamente de acordo com a equação:
\dot{q}_{G}=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right]
Em que q_{G} é a taxa local de geração de calor por unidade de volume em r
ro é o raio externo
\dot{q}_{1} é a taxa de geração de calor por unidade de volume na linha de centro
Determine a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura neste sistema com geração interna de energia, da seguinte forma:
\frac{d}{d r}\left(r \frac{d T}{d r}\right)=-\frac{r}{k} \dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right]

Passo 1

O que o problema pede: determinar a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura T(r) em uma haste cilíndrica com geração volumétrica de calor dada, e mostrar que ela é
\frac{d}{d r}\left(r \frac{d T}{d r}\right)=-\frac{r}{k} \dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right].
Informações fornecidas:
  • A geração volumétrica local de calor é
\dot{q}_{G}(r)=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right],
onde \dot{q}_{G} é a taxa de geração de calor por unidade de volume no ponto de raio r, \dot{q}_{1} é a geração no centro, e r_{0} é o raio externo da haste.
  • A condutividade térmica do material é k (assumimos k constante).
  • Queremos a equação diferencial em coordenadas cilíndricas apenas na direção radial r.

Passo 2

Assunções e definições (necessárias para montar o balanço de energia):
  • Estado estacionário (temperatura não depende do tempo).
  • Simetria axial e circunferencial: T=T(r) somente; não há variação em z nem em \theta.
  • Condução térmica descrita pela lei de Fourier em radial: o fluxo de calor radial q_r (potência atravessando uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L) é
q_{r}=-k A_{r}\frac{dT}{dr},
onde A_{r} é a área através da qual o calor atravessa. Para uma haste de comprimento L,
A_{r}=2\pi r L.
(Obs.: podemos tomar L=1 unidade de comprimento se quisermos, porque ela cancela no balanço; mantenho L para clareza.)
Vou explicar a lei de Fourier rapidamente: ela diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura e à área. A constante de proporcionalidade é -k, sendo o sinal negativo porque o calor flui no sentido de decrescimento de T.

Passo 3

Balanço de energia num elemento cilíndrico entre r e r+\mathrm{d}r (comprimento L):
  • Potência que entra pela superfície interna: q_{r}.
  • Potência que sai pela superfície externa: q_{r+\mathrm{d}r}=q_{r}+\dfrac{d q_{r}}{dr}\mathrm{d}r.
  • Potência gerada no volume do casquete cilíndrico: \dot{q}_{G}(r)\times \text{Volume}. O volume do anel é \mathrm{d}V = 2\pi r L\,\mathrm{d}r. Logo a geração total no anel é
\dot{q}_{G}(r)\,2\pi r L\,\mathrm{d}r.
Aplicando conservação de energia (entrada - saída + geração = 0) em regime estacionário:
q_{r}-q_{r+\mathrm{d}r}+\dot{q}_{G}(r)\,2\pi r L\,\mathrm{d}r=0.
Substituindo q_{r+\mathrm{d}r}=q_{r}+\dfrac{dq_{r}}{dr}\mathrm{d}r e simplificando, ao dividir por \mathrm{d}r e fazer o limite \mathrm{d}r\to0, obtemos
-\frac{d q_{r}}{dr}+\dot{q}_{G}(r)\,2\pi r L=0.

Passo 4

Agora substituímos a expressão de q_{r} dada pela lei de Fourier:
q_{r}=-k(2\pi r L)\frac{dT}{dr}.
Calcule o derivado de q_{r} em relação a r. Como 2\pi L e k são constantes:
\frac{d q_{r}}{dr}=-k(2\pi L)\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right).
Substituindo esse resultado no balanço obtido no passo anterior:
- \big[-k(2\pi L)\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)\big] + \dot{q}_{G}(r)\,2\pi r L = 0.
Ou seja,
k(2\pi L)\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \dot{q}_{G}(r)\,2\pi r L = 0.

Passo 5

Divida a equação anterior por 2\pi L (que é não nula) para simplificar:
k\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \dot{q}_{G}(r)\,r = 0.
Rearranjando:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{r}{k}\,\dot{q}_{G}(r).
Este é o formato geral da equação diferencial para o problema com geração volumétrica em coordenadas cilíndricas — explico: é a forma 1D radial da equação de Poisson para condução, onde o lado direito contém a geração interna dividida por k e multiplicada por r.

Passo 6

Agora substituímos a expressão específica dada para \dot{q}_{G}(r),
\dot{q}_{G}(r)=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right],
na equação do passo anterior. Isso fornece a equação diferencial final procurada:
\frac{d}{d r}\left(r \frac{d T}{d r}\right)=-\frac{r}{k} \dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right].

Resposta

\frac{d}{d r}\left(r \frac{d T}{d r}\right)=-\frac{r}{k} \dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right]

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