Um fluido viscoso está confinado entre dois cilindros concêntricos longos. O torque por unidade de comprimento (T’) necessário para girar o cilindro interno a uma velocidade angular ( \Omega ) é função dos raios (a e b) dos cilindros, da viscosidade (\mu) e da velocidade angular (\Omega). Determine a função adimensional equivalente. O que acontece com T’ se tanto a como b forem duplicados?

Passo 1

O enunciado diz que o torque por unidade de comprimento, que chamaremos de \;T'\;, necessário para girar o cilindro interno com velocidade angular \;\Omega\; depende dos raios \;a\; (cilindro interno) e \;b\; (cilindro externo), da viscosidade dinâmica \;\mu\; e de \;\Omega\;. As perguntas são: (1) determinar a função adimensional equivalente que relaciona essas quantidades; (2) dizer o que acontece com \;T'\; se tanto \;a\; quanto \;b\; forem duplicados. Informações relevantes dadas (lista explícita): \;T',\;a,\;b,\;\mu,\;\Omega\;. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (dimensional): quando uma grandeza depende de várias variáveis, podemos usar análise dimensional (método de Buckingham \Pi) para encontrar combinações adimensionais dessas variáveis. Essas combinações reduzem o número de parâmetros independentes e nos dão a forma geral (adimensional) da relação. Vou aplicar esse método passo a passo — é rápido e costuma ser obrigatório em provas.

Passo 3

Liste as dimensões de cada variável (em termos de massa M, comprimento L e tempo T):
  • \;T'\; (torque por unidade de comprimento): torque tem dimensão M L^2 T^{-2}, dividindo por comprimento dá \;[T'] = M L T^{-2}.
  • \;a,\;b\;: ambos são comprimentos, \;[a]=[b]=L.
  • \;\mu\; (viscosidade dinâmica): \;[\mu]=M L^{-1} T^{-1}.
  • \;\Omega\; (velocidade angular): \;[\Omega]=T^{-1}.
Anotei as dimensões explicitamente para usar no Buckingham.

Passo 4

Escolha das variáveis repetidas (repeating variables): preciso escolher três variáveis independentes (porque temos três dimensões fundamentais M,L,T). Vou escolher \;\mu,\;a,\;\Omega\; como variáveis repetidas. Justificativa rápida: elas contêm as três dimensões M,L,T de forma independente ( \mu contém M, a contém L, \Omega contém T^{-1}), e são convenientemente relacionadas ao problema físico (viscosidade, escala de comprimento e escala de tempo/rotação). Além disso, não escolho a variável dependente \;T'\; nem a outra variável adimensional que surgirá ( b) como repetidas.

Passo 5

Formo uma combinação adimensional \Pi_1 envolvendo \;T'\; e potências das variáveis repetidas. Escrevo:
\Pi_1 = T' \, \mu^{\alpha} \, a^{\beta} \, \Omega^{\gamma}.
Quero escolher \alpha,\beta,\gamma tais que \Pi_1 seja adimensional. Vou igualar as potências das dimensões M,L,T a zero.
Dimensionamento de cada fator:
[T'] = M^1 L^1 T^{-2}, \quad [\mu^{\alpha}] = M^{\alpha} L^{-\alpha} T^{-\alpha}, \quad [a^{\beta}] = L^{\beta}, \quad [\Omega^{\gamma}] = T^{-\gamma}.
Produto total:
M^{\,1+\alpha}\; L^{\,1-\alpha+\beta}\; T^{\,-2-\alpha-\gamma}.
Para ser adimensional, as potências devem ser zero. Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 1+\alpha = 0,\\[4pt] 1-\alpha+\beta = 0,\\[4pt] -2-\alpha-\gamma = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação: 1+\alpha=0 \alpha=-1.
  • Substituindo na segunda: 1-(-1)+\beta=0 1+1+\beta=0 \beta=-2.
  • Substituindo \alpha na terceira: -2-(-1)-\gamma=0 -2+1-\gamma=0 -1-\gamma=0 \gamma=-1.
Portanto \alpha=-1,\;\beta=-2,\;\gamma=-1.

Passo 7

Substituo os expoentes em \Pi_1:
\Pi_1 = T' \, \mu^{-1} \, a^{-2} \, \Omega^{-1} = \frac{T'}{\mu \,\Omega\, a^{2}}.
Então uma combinação adimensional é
\boxed{\displaystyle \Pi_1 = \frac{T'}{\mu\,\Omega\,a^{2}}.}

Passo 8

Agora preciso das demais combinações adimensionais. A outra variável com dimensão é b (comprimento), e a razão \;b/a\; é adimensional. Logo tomo
\Pi_2 = \frac{b}{a}.
Pelo teorema de Buckingham, a relação funcional geral entre as variáveis pode ser escrita como uma relação entre essas \Pi-grupos:
\boxed{\displaystyle \frac{T'}{\mu\,\Omega\,a^{2}} = F\!\left(\frac{b}{a}\right),}
onde F é uma função adimensional (determinada pela solução do problema de escoamento, não pela análise dimensional).

Passo 9

Interpretação e comentário sobre escolhas: a forma encontrada significa que, para fluidos newtonianos e geometria concêntrica, o torque por unidade de comprimento tem a forma
T' = \mu\,\Omega\,a^{2}\;F\!\left(\frac{b}{a}\right).
Se eu tivesse escolhido \;b\; como escala de comprimento, obteria forma equivalente com b em vez de a; ambas formas são equivalentes porque dependem apenas da razão \;b/a\;.

Passo 10

Respondo a segunda pergunta (escala): suponha que duplicamos ambos os raios, \;a\to 2a\; e \;b\to 2b. Então a razão adimensional \;b/a\; não muda, porque
\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}.
Portanto F(b/a) permanece o mesmo. Como
T' = \mu\,\Omega\,a^{2}\;F\!\left(\frac{b}{a}\right),
ao substituir a\to 2a obtemos
T'_{\text{novo}} = \mu\,\Omega\,(2a)^{2}\;F\!\left(\frac{b}{a}\right) = 4\,\mu\,\Omega\,a^{2}\;F\!\left(\frac{b}{a}\right) = 4\,T'_{\text{original}}.
Logo o torque por unidade de comprimento quadruplica.

Resposta

\displaystyle \frac{T'}{\mu\,\Omega\,a^{2}} = F\!\left(\frac{b}{a}\right)\n
T'_{\text{novo}} = 4\,T'_{\text{original}}

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