Um fluido viscoso está confinado entre dois cilindros concêntricos longos. O torque por unidade de comprimento (T’) necessário para girar o cilindro interno a uma velocidade angular ( \Omega ) é função dos raios (a e b) dos cilindros, da viscosidade (\mu) e da velocidade angular (\Omega). Determine a função adimensional equivalente. O que acontece com T’ se tanto a como b forem duplicados?
Passo 1
O enunciado diz que o torque por unidade de comprimento, que chamaremos de \;T'\;, necessário para girar o cilindro interno com velocidade angular \;\Omega\; depende dos raios \;a\; (cilindro interno) e \;b\; (cilindro externo), da viscosidade dinâmica \;\mu\; e de \;\Omega\;. As perguntas são: (1) determinar a função adimensional equivalente que relaciona essas quantidades; (2) dizer o que acontece com \;T'\; se tanto \;a\; quanto \;b\; forem duplicados. Informações relevantes dadas (lista explícita): \;T',\;a,\;b,\;\mu,\;\Omega\;. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (dimensional): quando uma grandeza depende de várias variáveis, podemos usar análise dimensional (método de Buckingham \Pi) para encontrar combinações adimensionais dessas variáveis. Essas combinações reduzem o número de parâmetros independentes e nos dão a forma geral (adimensional) da relação. Vou aplicar esse método passo a passo — é rápido e costuma ser obrigatório em provas.
Passo 3
Liste as dimensões de cada variável (em termos de massa M, comprimento L e tempo T):
\;T'\; (torque por unidade de comprimento): torque tem dimensão M L^2 T^{-2}, dividindo por comprimento dá \;[T'] = M L T^{-2}.
Anotei as dimensões explicitamente para usar no Buckingham.
Passo 4
Escolha das variáveis repetidas (repeating variables): preciso escolher três variáveis independentes (porque temos três dimensões fundamentais M,L,T). Vou escolher \;\mu,\;a,\;\Omega\; como variáveis repetidas. Justificativa rápida: elas contêm as três dimensões M,L,T de forma independente (\mu contém M, a contém L, \Omega contém T^{-1}), e são convenientemente relacionadas ao problema físico (viscosidade, escala de comprimento e escala de tempo/rotação). Além disso, não escolho a variável dependente \;T'\; nem a outra variável adimensional que surgirá (b) como repetidas.
Passo 5
Formo uma combinação adimensional \Pi_1 envolvendo \;T'\; e potências das variáveis repetidas. Escrevo:
onde F é uma função adimensional (determinada pela solução do problema de escoamento, não pela análise dimensional).
Passo 9
Interpretação e comentário sobre escolhas: a forma encontrada significa que, para fluidos newtonianos e geometria concêntrica, o torque por unidade de comprimento tem a forma
Se eu tivesse escolhido \;b\; como escala de comprimento, obteria forma equivalente com b em vez de a; ambas formas são equivalentes porque dependem apenas da razão \;b/a\;.
Passo 10
Respondo a segunda pergunta (escala): suponha que duplicamos ambos os raios, \;a\to 2a\; e \;b\to 2b. Então a razão adimensional \;b/a\; não muda, porque