(5) Água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de 200-2t litros por minuto, para t >= 0. Encontre a quantidade total de água, em litros, que escoa do tanque entre 2 e 4 minutos.

Passo 1

O enunciado dá a vazão de água pelo fundo de um tanque como função do tempo t (em minutos):
f(t)=200-2t(litros por minuto), t>=0
Queremos a quantidade total de água (em litros) que escoa entre t=2 e t=4. O conteúdo usado será o cálculo de integrais definidas e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

A quantidade total de água é a integral da vazão de t=2 até t=4:
integral2^4l(200-2tr),dt

Passo 3

Encontremos uma antiderivada de 200-2t. Integramos termo a termo:
integral (200-2t),dt = 200t - t^2 + C
Logo, podemos usar F(t)=200t-t^2.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral2^4(200-2t),dt = F(4)-F(2)
Calculando:
F(4)=200cdot4 - 4^2 = 800 - 16 = 784,
F(2)=200cdot2 - 2^2 = 400 - 4 = 396,
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F(4)-F(2)=784 - 396 = 388

Resposta

388 litros

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