Questão 5. Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
e sua classificação (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Para isso vamos usar o fato de que pontos críticos satisfazem
e então aplicar o teste da Hessiana.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Resolvendo o sistema
- De
vem ou . - Se
, da primeira equação obtém-se , gerando . - Se
, da primeira equação segue , isto é , gerando e .
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Agora calculamos os segundos derivadas para a Hessiana:
O discriminante da Hessiana é
Passo 5
Avaliamo-lo em cada ponto:
Em
:
Logo
é máximo local.
Em
:
Logo
é ponto de sela.
Em
:
Logo
é ponto de sela.