Questão 5. Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=x y^2-6 x^2-3 y^2

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y)=x,y^2-6x^2-3y^2
e sua classificação (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Para isso vamos usar o fato de que pontos críticos satisfazem nabla f=0 e então aplicar o teste da Hessiana.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
fx = partialpartial x(x,y^2-6x^2-3y^2) = y^2-12x,
fy = partialpartial y(x,y^2-6x^2-3y^2) = 2xy -6y
Os pontos críticos satisfazem
y^2-12x=0,
2xy-6y=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
  1. De 2xy-6y=y(2x-6)=0 vem y=0 ou x=3.
  2. Se y=0, da primeira equação 0-12x=0 obtém-se x=0, gerando (0,0).
  3. Se x=3, da primeira equação y^2-12cdot3=0 segue y^2=36, isto é y=pm6, gerando (3,6) e (3,-6).
Logo, os pontos críticos são
(0,0), (3,6), (3,-6)

Passo 4

Agora calculamos os segundos derivadas para a Hessiana:
fxx = partialpartial x(y^2-12x) = -12,
fyy = partialpartial y(2xy-6y) = 2x-6,
fxy = partialpartial y(y^2-12x) = 2y
O discriminante da Hessiana é
D = fxx,fyy - (fxy)^2

Passo 5

Avaliamo-lo em cada ponto:
Em (0,0):
fxx=-12, fxy=0, fyy=2cdot0-6=-6
D = (-12)(-6)-0^2=72>0, fxx<0
Logo (0,0) é máximo local.
Em (3,6):
fxx=-12, fxy=2cdot6=12, fyy=2cdot3-6=0
D = (-12)cdot0 - 12^2 = -144<0
Logo (3,6) é ponto de sela.
Em (3,-6):
fxx=-12, fxy=2cdot(-6)=-12, fyy=0
D = (-12)cdot0 - (-12)^2 = -144<0
Logo (3,-6) é ponto de sela.

Resposta

(0,0) é máximo local;
(3,6) é ponto de sela;
(3,-6) é ponto de sela.

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