Água escoa em regime permanente através de um bocal horizontal, descarregando para a atmosfera. Na entrada do bocal, o diâmetro é D_{1}; na saída, D_{2}. Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada do bocal para produzir uma vazão volumétrica Q. Avalie a pressão manométrica de entrada se D_{1} \neq 90, \mathrm{~mm}, D_{2}= 30 mm , e a vazão desejada for 0,03 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado diz que água escoa em regime permanente por um bocal horizontal cujo diâmetro de entrada é D_{1} e de saída é D_{2}, descarregando para a atmosfera. Queremos a pressão manométrica mínima na entrada para obter vazão volumétrica Q.
Conteúdo: vamos usar a equação de continuidade para ligar velocidades e a equação de Bernoulli (sem perdas) entre a seção de entrada e a saída (onde a pressão é atmosférica, logo manométrica zero).

Passo 2

Pela continuidade num regime permanente temos
Q = A_{1}\,v_{1} = A_{2}\,v_{2},
onde A_{i} = \dfrac{\pi D_{i}^{2}}{4}. Logo
v_{1} = \frac{Q}{A_{1}} \quad\text{e}\quad v_{2} = \frac{Q}{A_{2}}.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre a entrada (ponto 1) e a saída (ponto 2), para um escoamento horizontal e sem perdas:
P_{1} + \tfrac12\,\rho\,v_{1}^{2} = P_{2} + \tfrac12\,\rho\,v_{2}^{2}.
Como descarrega para a atmosfera, a pressão manométrica na saída é zero ( P_{2}=0 manométrica). Assim, a pressão manométrica mínima na entrada é
P_{1} = \tfrac12\,\rho\,(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).

Passo 4

Substituindo v_{1}=Q/A_{1} e v_{2}=Q/A_{2}, obtemos
P_{1} = \tfrac12\,\rho \Bigl[ \Bigl(\frac{Q}{A_{2}}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{Q}{A_{1}}\Bigr)^{2} \Bigr].

Passo 5

Agora numericamente, tomando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, Q=0,03\\ \mathrm{m^{3}/s},
D_{1}=90\\ \mathrm{mm}=0,09\\ \mathrm{m}, \quad D_{2}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m},
A_{1}=\frac{\pi(0,09)^{2}}{4}\approx0,00636\\ \mathrm{m^{2}}, \quad A_{2}=\frac{\pi(0,03)^{2}}{4}\approx0,000707\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo
v_{1}=\frac{0,03}{0,00636}\approx4,72\\ \mathrm{m/s}, \quad v_{2}=\frac{0,03}{0,000707}\approx42,4\\ \mathrm{m/s},
P_{1} = \frac12\cdot1000 \bigl(42{,}4^{2}-4{,}72^{2}\bigr) \approx8,89\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

A pressão manométrica mínima de entrada é
P_{1} = \tfrac12\,\rho \Bigl[ \bigl(Q/A_{2}\bigr)^{2} - \bigl(Q/A_{1}\bigr)^{2} \Bigr] \approx8{,}9\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

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