(2,5 pt) Descreva as etapas necessárias para o desenvolvimento de um parâmetro adimensional utilizando o Teorema Pi de Buckingham e explique como seu uso pode ser aplicado à análise de semelhança. O procedimento deve ser realizado utilizando-se de um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente descreva as etapas do Teorema Π de Buckingham para obter um parâmetro adimensional e explique como usar isso em análise de semelhança. Vamos precisar identificar variáveis relevantes, suas dimensões, montar grupos Π e mostrar, via um exemplo prático, como isso leva aos números adimensionais que garantem similaridade entre modelo e protótipo.

Passo 2

As etapas gerais do Teorema Π de Buckingham são:
  1. Listar todas as variáveis que influenciam o fenômeno (por ex. força, velocidade, viscosidade etc.).
  2. Expressar suas dimensões fundamentais (M, L, T).
  3. Contar o número de variáveis n e o número de dimensões fundamentais envolvidas k.
  4. Calcular quantos grupos Π teremos: n - k.
  5. Escolher k variáveis ditas “repetentes” que cubram todas as dimensões fundamentais sem serem entre si adimensionais.
  6. Formar cada grupo Π como combinação monomial das variáveis, impondo que o resultado seja adimensional.
  7. Validar que cada Π é de fato sem dimensão.

Passo 3

Exemplo: força de arrasto F_D sobre uma esfera de diâmetro D movendo-se em fluido de densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu e velocidade V.
Variáveis: F_D, \rho, \mu, V, D.
Dimensões:
[F_D]=M\,L\,T^{-2},\quad[\rho]=M\,L^{-3},\quad[\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1},\quad[V]=L\,T^{-1},\quad[D]=L.

Passo 4

Aqui n=5 e as dimensões fundamentais são M,L,T, logo k=3 e teremos 5-3=2 grupos Π.
Escolhemos as repetentes \rho, V e D pois cobrem M,L,T e não formam combinação adimensional entre si.

Passo 5

Formamos os Π impondo expoentes a,b,c tais que
\Pi = \rho^{a}V^{b}D^{c}F_D^{d}
e exigimos dimensão nula. Fazendo o balanceamento em M,L,T aparecem duas soluções independentes:
• Reynolds:
\Pi_1 = \frac{\rho\,V\,D}{\mu} \quad\longrightarrow\quad \mathrm{Re}.
• Coeficiente de arrasto:
\Pi_2 = \frac{F_D}{\tfrac12\,\rho\,V^2\,D^2} \quad\longrightarrow\quad C_D.

Passo 6

Para análise de semelhança entre modelo e protótipo você deve manter os mesmos valores de todos os Π (aqui \mathrm{Re} e C_D).
  • Semelhança geométrica: manter escala linear (mesma forma).
  • Semelhança cinemática: manter proporção de velocidades de contorno.
  • Semelhança dinâmica: garantir igualdade nos números adimensionais (p. ex. Reynolds iguais).
    Assim, medições do modelo em túnel de vento ou tanque hidrodinâmico podem ser transpostas para o protótipo real se \mathrm{Re}_{\rm mod}=\mathrm{Re}_{\rm prot} e C_{D,\rm mod}=C_{D,\rm prot}.

Resposta

As etapas do Teorema Π foram:
  1. identificar variáveis e dimensões;
  2. contar n, k e calcular n-k;
  3. escolher variáveis repetentes;
  4. montar grupos Π e verificar adimensionalidade;
  5. aplicar em um exemplo (arrasto da esfera) obtendo
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu} \quad\text{e}\quad C_D=\frac{F_D}{\tfrac12\rho V^2D^2}.
Em análise de semelhança basta igualar esses números adimensionais entre modelo e protótipo para garantir que as forças e perfis sejam representativos.

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