(2,5 pt) Descreva as etapas necessárias para o desenvolvimento de um parâmetro adimensional utilizando o Teorema Pi de Buckingham e explique como seu uso pode ser aplicado à análise de semelhança. O procedimento deve ser realizado utilizando-se de um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente descreva as etapas do Teorema Π de Buckingham para obter um parâmetro adimensional e explique como usar isso em análise de semelhança. Vamos precisar identificar variáveis relevantes, suas dimensões, montar grupos Π e mostrar, via um exemplo prático, como isso leva aos números adimensionais que garantem similaridade entre modelo e protótipo.
Passo 2
As etapas gerais do Teorema Π de Buckingham são:
- Listar todas as variáveis que influenciam o fenômeno (por ex. força, velocidade, viscosidade etc.).
- Expressar suas dimensões fundamentais (M, L, T).
- Contar o número de variáveis
e o número de dimensões fundamentais envolvidas . - Calcular quantos grupos Π teremos:
. - Escolher
variáveis ditas “repetentes” que cubram todas as dimensões fundamentais sem serem entre si adimensionais. - Formar cada grupo Π como combinação monomial das variáveis, impondo que o resultado seja adimensional.
- Validar que cada Π é de fato sem dimensão.
Passo 3
Exemplo: força de arrasto
sobre uma esfera de diâmetro
movendo-se em fluido de densidade
, viscosidade dinâmica
e velocidade
.
Variáveis: ,
,
,
,
.
Dimensões:
Variáveis:
Dimensões:
Passo 4
Aqui
e as dimensões fundamentais são
, logo
e teremos
grupos Π.
Escolhemos as repetentes ,
e
pois cobrem
e não formam combinação adimensional entre si.
Escolhemos as repetentes
Passo 5
Formamos os Π impondo expoentes
tais que
e exigimos dimensão nula. Fazendo o balanceamento em
aparecem duas soluções independentes:
• Reynolds:
• Reynolds:
• Coeficiente de arrasto:
Passo 6
Para análise de semelhança entre modelo e protótipo você deve manter os mesmos valores de todos os Π (aqui
e
).
- Semelhança geométrica: manter escala linear (mesma forma).
- Semelhança cinemática: manter proporção de velocidades de contorno.
- Semelhança dinâmica: garantir igualdade nos números adimensionais (p. ex. Reynolds iguais).
Assim, medições do modelo em túnel de vento ou tanque hidrodinâmico podem ser transpostas para o protótipo real see .
Resposta
As etapas do Teorema Π foram:
- identificar variáveis e dimensões;
- contar
, e calcular ; - escolher variáveis repetentes;
- montar grupos Π e verificar adimensionalidade;
- aplicar em um exemplo (arrasto da esfera) obtendo
Em análise de semelhança basta igualar esses números adimensionais entre modelo e protótipo para garantir que as forças e perfis sejam representativos.