A água escoa em regime permanente no sistema abaixo. Considerando os diâmetros na seção (1) e (2), respectivamente, 60 mm e 30 mm e desprezando as perdas de carga, determine as velocidades em (1) e (2) e a vazão nesse sistema. O líquido manométrico utilizado no manômetro é o mercúrio.
Dados: \gamma_{\mathrm{Hg}}=136000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} e \gamma_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=10000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar as velocidades nas seções (1) e (2): v_1 e v_2.
  • Determinar a vazão volumétrica Q.
Informações e dados fornecidos (peguei os valores visíveis na figura):
  • Diâmetro na seção (1): D_1 = 60\\ \text{mm} = 0{,}060\\ \text{m}.
  • Diâmetro na seção (2): D_2 = 30\\ \text{mm} = 0{,}030\\ \text{m}.
  • Diferença de nível do líquido manométrico (mercurio) indicada na figura: b = 10\\ \text{cm} = 0{,}10\\ \text{m}.
  • Peso específico do mercúrio: \gamma_{\mathrm{Hg}} = 136000\\ \mathrm{N/m^3}.
  • Peso específico da água (fornecido): \gamma_{\mathrm{H_2O}} = 10000\\ \mathrm{N/m^3}.
  • O escoamento é permanente e as perdas de carga são desprezadas.
  • Observação da figura: as seções (1) e (2) estão no mesmo nível horizontal (mesma cota).
Vou usar as relações do escoamento incompressível: continuidade e Bernoulli, e a relação de equilíbrio hidrostático do manômetro para relacionar p_1-p_2.

Passo 2

Continuidade (conservação de massa) — explicação e fórmula:
  • Para um escoamento incompressível e seções de área A_1 e A_2 vale
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A=\dfrac{\pi D^2}{4} é a área da seção e v é a velocidade média naquela seção.
  • Calculando a razão das áreas com os diâmetros:
\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2=\left(\frac{0{,}060}{0{,}030}\right)^2=2^2=4.
  • Da continuidade segue
v_2=\frac{A_1}{A_2}\,v_1 = 4\,v_1.
Breve comentário didático: a área varia com o quadrado do diâmetro; pela continuidade, se a área em (1) é 4 vezes a de (2), a velocidade em (2) será 4 vezes a de (1).

Passo 3

Relação manométrica entre p_1 e p_2 — explicação:
  • O manômetro contém mercúrio (mais pesado) e acima dele há água nas duas ramificações. Percorrendo um caminho hidrostático entre os pontos ligados ao manômetro, equilibra-se:
p_1 + \gamma_{\mathrm{H_2O}}(h_1) = p_{\text{Hg, lado 1}} + \text{(colunas)} = \dots = p_2 + \gamma_{\mathrm{H_2O}}(h_2) + \gamma_{\mathrm{Hg}}(\text{diferença de nível do Hg}).çí
  • Para o caso em que os pontos de tomada estão à mesma cota (como aqui) e considerando a geometria usual do manômetro com coluna de mercúrio deslocada de b, a diferença de pressão entre os pontos ligados é dada por
p_1 - p_2 = (\gamma_{\mathrm{Hg}} - \gamma_{\mathrm{H_2O}})\,b.
Explicação simples: a pressão maior do lado mais carregado empurra o mercúrio; a diferença de coluna do mercúrio traduz-se em diferença de pressão entre os dois pontos, mas é preciso descontar o efeito das colunas de água acima do mercúrio, daí o termo \gamma_{\mathrm{Hg}}-\gamma_{\mathrm{H_2O}}.

Passo 4

Calcular numericamente p_1 - p_2:
p_1 - p_2 = (\gamma_{\mathrm{Hg}} - \gamma_{\mathrm{H_2O}})\,b = (136000 - 10000)\times 0{,}10\\ \text{Pa}.
p_1 - p_2 = 126000\times 0{,}10 = 12600\\ \text{Pa}.

Passo 5

Bernoulli entre as seções (1) e (2) — explicação e aplicação:
  • Para escoamento estacionário, incompressível e desprezando perdas, a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 vale
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \gamma_{\mathrm{H_2O}} z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \gamma_{\mathrm{H_2O}} z_2.
  • Como z_1=z_2 (mesma cota), os termos gravitacionais se cancelam, ficando
p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right).
  • Aqui \rho é a densidade da água obtida a partir do peso específico: \rho=\dfrac{\gamma_{\mathrm{H_2O}}}{g}. Usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e \gamma_{\mathrm{H_2O}}=10000\\ \mathrm{N/m^3},
\rho=\frac{10000}{9{,}81}\approx 1019{,}37\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Observação: se em outro contexto for adotado g=10\\ \mathrm{m/s^2}, então \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}; isso dará resultados muito próximos.)

Passo 6

Substituir v_2=4v_1 na equação de Bernoulli e resolver para v_1:
p_1-p_2=\tfrac{1}{2}\rho\big((4v_1)^2 - v_1^2\big)=\tfrac{1}{2}\rho(16-1)v_1^2=\tfrac{15}{2}\rho v_1^2.
Logo
v_1^2=\frac{2(p_1-p_2)}{15\,\rho}.
Substituindo os valores numéricos:
v_1^2=\frac{2\times12600}{15\times1019{,}37}=\frac{25200}{15290{,}55}\approx 1{,}648.
v_1\approx\sqrt{1{,}648}\approx 1{,}284\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular v_2 usando v_2=4v_1:
v_2 = 4\times 1{,}284 \approx 5{,}136\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calcular a vazão Q:
  • Área da seção (1):
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi(0{,}060)^2}{4}=\pi\times 0{,}0009 \approx 0{,}002827\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão:
Q=A_1 v_1 \approx 0{,}002827\times 1{,}284 \approx 0{,}003628\\ \mathrm{m^3/s}.
Em unidades mais usuais:
Q\approx 0{,}003628\\ \mathrm{m^3/s}=3{,}628\\ \mathrm{L/s}.

Passo 9

Breve verificação e comentário final (para dar confiança):
  • A razão de velocidades v_2/v_1\approx 4 está conforme a razão de áreas (área 4 vezes menor em (2) → velocidade 4 vezes maior).
  • Os valores obtidos são compatíveis com a diferença de pressão deduzida do manômetro ( 12600\\ \mathrm{Pa}).

Resposta

v_1 \approx 1{,}284\\ \mathrm{m/s}
v_2 \approx 5{,}136\\ \mathrm{m/s}
Q \approx 0{,}003628\\ \mathrm{m^3/s} (ou 3{,}628\\ \mathrm{L/s})

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