A água escoa em regime permanente no sistema abaixo. Considerando os diâmetros na seção (1) e (2), respectivamente, 60 mm e 30 mm e desprezando as perdas de carga, determine as velocidades em (1) e (2) e a vazão nesse sistema. O líquido manométrico utilizado no manômetro é o mercúrio.
Dados:
e
.
Dados:
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar as velocidades nas seções (1) e (2):
e . - Determinar a vazão volumétrica
.
Informações e dados fornecidos (peguei os valores visíveis na figura):
- Diâmetro na seção (1):
. - Diâmetro na seção (2):
. - Diferença de nível do líquido manométrico (mercurio) indicada na figura:
. - Peso específico do mercúrio:
. - Peso específico da água (fornecido):
. - O escoamento é permanente e as perdas de carga são desprezadas.
- Observação da figura: as seções (1) e (2) estão no mesmo nível horizontal (mesma cota).
Vou usar as relações do escoamento incompressível: continuidade e Bernoulli, e a relação de equilíbrio hidrostático do manômetro para relacionar
.
Passo 2
Continuidade (conservação de massa) — explicação e fórmula:
- Para um escoamento incompressível e seções de área
e vale
onde
é a área da seção e
é a velocidade média naquela seção.
- Calculando a razão das áreas com os diâmetros:
- Da continuidade segue
Breve comentário didático: a área varia com o quadrado do diâmetro; pela continuidade, se a área em (1) é 4 vezes a de (2), a velocidade em (2) será 4 vezes a de (1).
Passo 3
Relação manométrica entre
e
— explicação:
- O manômetro contém mercúrio (mais pesado) e acima dele há água nas duas ramificações. Percorrendo um caminho hidrostático entre os pontos ligados ao manômetro, equilibra-se:
- Para o caso em que os pontos de tomada estão à mesma cota (como aqui) e considerando a geometria usual do manômetro com coluna de mercúrio deslocada de
, a diferença de pressão entre os pontos ligados é dada por
Explicação simples: a pressão maior do lado mais carregado empurra o mercúrio; a diferença de coluna do mercúrio traduz-se em diferença de pressão entre os dois pontos, mas é preciso descontar o efeito das colunas de água acima do mercúrio, daí o termo
.
Passo 4
Calcular numericamente
:
Passo 5
Bernoulli entre as seções (1) e (2) — explicação e aplicação:
- Para escoamento estacionário, incompressível e desprezando perdas, a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 vale
- Como
(mesma cota), os termos gravitacionais se cancelam, ficando
- Aqui
é a densidade da água obtida a partir do peso específico: . Usando e ,
(Observação: se em outro contexto for adotado
, então
; isso dará resultados muito próximos.)
Passo 6
Substituir
na equação de Bernoulli e resolver para
:
Logo
Substituindo os valores numéricos:
Passo 7
Calcular
usando
:
Passo 8
Calcular a vazão
:
- Área da seção (1):
- Vazão:
Em unidades mais usuais:
Passo 9
Breve verificação e comentário final (para dar confiança):
- A razão de velocidades
está conforme a razão de áreas (área 4 vezes menor em (2) → velocidade 4 vezes maior). - Os valores obtidos são compatíveis com a diferença de pressão deduzida do manômetro (
).