Questão única: Um pré-aquecedor utiliza vapor d’água saturado a
, alimentado pelo interior dos tubos de um feixe, para aquecer ar que entra no sistema a 1 atm e
ar escoa em escoamento cruzado no lado externo dos tubos, a
. cada tubo possui 1,5 m de comprimento e diâmetro igual a 12 mm . O feixe contém 196 tubos em um arranjo alinhado quadrado, no qual
. Calcule a taxa de transferência de calor para o ar. Utilize, para seus cálculos, as correlações de Grimison e de Zukauskas, comparando os resultados.
OBS: Para os cálculos na correlação de Zukauskas, considere a
menor que a temperatura da superfície do tubo.
Constantes para a equação de Zhukauskas
| Configuração |
|
|
|
|---|---|---|---|
| Alinhados |
|
0,80 | 0,40 |
| Alternados |
|
0,90 | 0,40 |
| Alinhados Alternados | [\left.\begin{array}{l} |
10{2}-10{3} \\ 10{2}-10{3}
\end{array}\right} ] | \multicolumn{2}{|c|}{Aproxime por um único cilindro} |
| Alinhados |
| 0,27 | 0,63 |
| Alternados ( ) |
|
| 0,60 |
| Alternados ( ) |
| 0,40 | 0,60 |
| Alinhados | | 0,021 | 0,84 |
| Alternados | | 0,022 | 0,84 |
\end{array}\right} ] | \multicolumn{2}{|c|}{Aproxime por um único cilindro} |
| Alinhados
| Alternados (
| Alternados (
| Alinhados |
| Alternados |
Fator de correção
para,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Alinhadas | 0,70 | 0,80 | 0,86 | 0,90 | 0,92 | 0,95 | 0,97 | 0,98 | 0,99 |
| Alternadas | 0,64 | 0,76 | 0,84 | 0,89 | 0,92 | 0,95 | 0,97 | 0,98 | 0,99 |
Constantes da Correlação de Grimison
|
|
|
||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.25 | 1.5 | 2.0 | 3.0 | ||||||
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|
|
|
|
||
| Alinhado | |||||||||
| 1.25 | 0.348 | 0.592 | 0.275 | 0.608 | 0.100 | 0.704 | 0.0633 | 0.752 | |
| 1.50 | 0.367 | 0.586 | 0.250 | 0.620 | 0.101 | 0.702 | 0.0678 | 0.744 | |
| 2.00 | 0.418 | 0.570 | 0.299 | 0.602 | 0.229 | 0.632 | 0.198 | 0.648 | |
| 3.00 | 0.290 | 0.601 | 0.357 | 0.584 | 0.374 | 0.581 | 0.286 | 0.608 | |
| Alternado | |||||||||
| 0.600 | - | - | - | - | - | - | 0.213 | 0.636 | |
| 0.900 | - | - | - | - | 0.446 | 0.571 | 0.401 | 0.581 | |
| 1.000 | - | - | 0.497 | 0.558 | - | - | - | - | |
| 1.125 | - | - | - | - | 0.478 | 0.565 | 0.518 | 0.560 | |
| 1.250 | 0.518 | 0.556 | 0.505 | 0.554 | 0.519 | 0.556 | 0.522 | 0.562 | |
| 1.500 | 0.451 | 0.568 | 0.460 | 0.562 | 0.452 | 0.568 | 0.488 | 0.568 | |
| 2.000 | 0.404 | 0.572 | 0.416 | 0.568 | 0.482 | 0.556 | 0.449 | 0.570 | |
| 3.000 | 0.310 | 0.592 | 0.356 | 0.580 | 0.440 | 0.562 | 0.428 | 0.574 | ] |
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dados do problema (peguei todos estes valores do enunciado):
- Vapor d’água saturado à
alimentando o interior dos tubos (logo a superfície dos tubos pode ser tomada como ). - Ar entra a
e . - Velocidade livre do ar:
- Tubos: comprimento
, diâmetro - Número total de tubos:
- Arranjo: alinhado quadrado com espaçamento transversal e longitudinal
O que foi pedido:
- Calcular a taxa de transferência de calor para o ar
usando: - A correlação de Grimison.
- A correlação de Zhukauskas (Zukauskas), e comparar os resultados.
- Observação dada: para Zhukauskas, considere que
é menor que a temperatura da superfície do tubo (vou usar isso para avaliar propriedades superficiais quando for necessário).
Observações práticas que vou usar (não resolvo ainda):
- O ar aquece ao passar pelo feixe; para obter
preciso da troca convectiva total na superfície externa dos tubos: . Como a temperatura do ar varia do inlet ao outlet, vou resolver por balanço energético envolvendo do ar e a resistência convectiva com um método iterativo simples (uma iteração costuma convergir rápido). - É preciso estimar propriedades do ar (densidade
, viscosidade dinâmica , condutividade térmica , número de Prandtl ) num temperatura de filme apropriada. Vou explicar e mostrar como escolhi esses valores quando usá-los.
Passo 2
Estratégia de resolução — método escolhido e por quê.
Por que usar essas correlações:
- A questão pede explicitamente Grimison e Zhukauskas (essas são correlações empíricas para convecção forçada em escoamento cruzado sobre bancos de tubos). Logo usarei as duas.
- Para cada correlação preciso do número de Reynolds baseado no diâmetro do tubo:
. - A abordagem prática: calcular a condutância convectiva média
(de cada correlação) com propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme; calcular a área de troca total; fazer balanço de energia para achar e . Se a temperatura média usada para propriedades mudar significativamente, repetir (iterações) até convergência. Vou efetuar 1–2 iterações até valores estáveis (convergência rápida).
Passo 3
Geometria do feixe, área superficial e vazão mássica de ar.
-
Como o arranjo é quadrado alinhado e
, o número de colunas e linhas é . Logo há tubos na direção do escoamento (número de fileiras que o ar encontra), isto é . -
Largura total do feixe na direção do fluxo (medida entre centros dos tubos) aproximada por
-
Área frontal disponível ao fluxo (plano perpendicular ao escoamento) aproximada por(esta é a área que o ar atravessa com velocidade livre dada).
-
Para estimar a vazão mássica do ar: preciso da densidade no estado de entrada. Tomando ar ideal a
e , -
Vazão mássica do ar:(arredondei a 4 dígitos úteis:
.) -
Área de superfície externa total dos tubos (troca convectiva lateral):
Vou usar
como valor típico para ar (ligeira variação com temperatura, mas aceitável aqui).
Passo 4
Propriedades do ar e definição de temperatura de filme — como escolhi os valores.
- Para aplicar as correlações precisamos de propriedades em uma temperatura de filme. Defino:
onde é a temperatura média do ar no lado externo. No início não conheço , então faço uma primeira estimativa simples: usar . Depois itero. - Primeira estimativa (inicial):
. Logo . Para simplificar e porque as propriedades não mudam muito, usei no cálculo prático uma aproximação intermediária: na primeira iteração considerei (que surge do processo iterativo abaixo). Mas explicarei passo a passo as propriedades usadas e as aproximações: - Valores aproximados de propriedades do ar em torno de
(aprox.\ ): - viscosidade dinâmica:
, - condutividade térmica:
, - número de Prandtl:
.
- viscosidade dinâmica:
- Para o cálculo de
(Prandtl na superfície para o fator de Zhukauskas), o enunciado pediu usar , ou seja . Em estimei . - Observação: expliquei a origem das propriedades (estimativas baseadas em tabelas/tendência com temperatura; variações pequenas não afetam dramaticamente o resultado final). Vou usar essas propriedades atualizadas durante as iterações.
Passo 5
Cálculo do número de Reynolds (baseado no diâmetro do tubo) com as propriedades de filme.
- Usando
no film temp (para obtive ) e : - Conclusão:
. Isso posiciona o escoamento no intervalo , que é o intervalo usado por certas entradas da tabela de Zhukauskas (caso alinhado).
Passo 6
Correlação de Grimison — fórmula, constantes e cálculo do coeficiente convectivo
.
- Fórmula (forma usada aqui para Grimison):
onde .
(Essa é a forma empírica frequentemente usada para a correlação de Grimison;e dependem das razões e .) - Do quadro dado: para arranjo alinhado com
lemos (peguei do quadro de Grimison) - Valores usados (propriedades no
): - Calcule
:
- Coeficiente convectivo médio:
Passo 7
Balanço energético e solução iterativa para
(usando
de Grimison).
- Relações usadas:
- Balanço de energia para o ar:
- Transferência convectiva na superfície (média):
onde tomei (aproximação linear razoável para este tipo de problema).
- Balanço de energia para o ar:
- Eliminando
e isolando : Arrumando os termos: Logo - Substituindo valores (usando
, , , , ):
Então
-
Com isso:Ou seja,
-
Iteração: com este
calculei novamente o e o e recomputeis as propriedades e . Uma iteração mostrou pouca variação e resultou em bem próximo do valor acima; por isso o resultado está convergido (valores finais usados nas contas acima já refletem a segunda iteração).
Passo 8
Correlação de Zhukauskas — fórmula, constantes, fator
e cálculo de
.
- Forma utilizada da correlação de Zhukauskas (uma forma padrão e compatível com os dados fornecidos):
Explicação dos termos: -
e são constantes fornecidas no quadro (dependem de arranjo e intervalo de ). -
é um fator que corrige para o número de fileiras no sentido do fluxo (tabela fornecida para ). -
é o número de Prandtl avaliado na temperatura próxima da superfície (o enunciado pediu usar para esse propósito).
-
- Escolhas a partir dos quadros fornecidos:
- Nosso
está no intervalo para o caso “Alinhados”. Então, do quadro de Zhukauskas usei: - Para
(número de fileiras), o quadro de correção para alinhados dá: em tem e em tem . Interpolei e tomei (aproximação suave). Para simplicidade numérica nestes cálculos usei .
- Nosso
- Propriedades usadas:
-
(conforme passo 5), -
no , -
(avaliado em ).
-
- Calcule
:
- Coeficiente convectivo médio a partir de
:
Passo 9
Balanço energético com
de Zhukauskas e cálculo final de
.
- Repito a mesma fórmula usada no passo 7 com o novo
: - Substituindo
, , :
- Portanto
Ou seja,
Passo 10
Comparação, interpretação e certeza das aproximações.
- Resultados finais:
- Grimison:
- Zhukauskas:
- Grimison:
- Interpretação: as duas correlações dão valores próximos (diferença da ordem de
), indicando consistência. A diferença vem de detalhes empíricos diferentes nas correlações e do uso do fator em Zhukauskas. - Fontes de aproximação/erro:
- Estimativa das propriedades do ar (mu, k, cp, Pr) a partir de valores tabelados/interpolados; usei aproximações razoáveis para temperaturas de filme e superfície. Pequenas variações nas propriedades mudariam
e modestamente. - Usei a aproximação linear
, prática comum em problemas de escoamento em que as resistências internas são dominantes pela convecção externa. - Para
fiz interpolação entre valores tabulados; isso é aceitável para .
- Estimativa das propriedades do ar (mu, k, cp, Pr) a partir de valores tabelados/interpolados; usei aproximações razoáveis para temperaturas de filme e superfície. Pequenas variações nas propriedades mudariam
- Conclusão: ambos os resultados são válidos; para projeto prático recomenda-se adotar um fator de segurança e, se possível, comparar com medição ou simulação mais detalhada.
Resposta
Grimison:
Zhukauskas: