Questão única: Um pré-aquecedor utiliza vapor d’água saturado a 100^{\circ} \mathrm{C}, alimentado pelo interior dos tubos de um feixe, para aquecer ar que entra no sistema a 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} ar escoa em escoamento cruzado no lado externo dos tubos, a 5,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. cada tubo possui 1,5 m de comprimento e diâmetro igual a 12 mm . O feixe contém 196 tubos em um arranjo alinhado quadrado, no qual \mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{S}_{\mathrm{L}}=15 \mathrm{~mm}. Calcule a taxa de transferência de calor para o ar. Utilize, para seus cálculos, as correlações de Grimison e de Zukauskas, comparando os resultados.
OBS: Para os cálculos na correlação de Zukauskas, considere a \mathrm{T}_{\text {sai }} 10^{\circ} \mathrm{C} menor que a temperatura da superfície do tubo.
Constantes para a equação de Zhukauskas
Configuração R e_{D_{\text {_máx }}}á \boldsymbol{C}_{\mathbf{1}} m
Alinhados 10-10^{2} 0,80 0,40
Alternados 10-10^{2} 0,90 0,40
Alinhados Alternados [\left.\begin{array}{l}
10{2}-10{3} \\ 10{2}-10{3}
\end{array}\right} ] | \multicolumn{2}{|c|}{Aproxime por um único cilindro} |
| Alinhados \left(S_{T} / S_{L}>0,7\right)^{a} | 10^{3}-2 \times 10^{5} | 0,27 | 0,63 |
| Alternados ( S_{T} / S_{L}<2 ) | 10^{3}-2 \times 10^{5} | 0,35\left(S_{T} / S_{L}\right)^{1 / 5} | 0,60 |
| Alternados ( S_{T} / S_{L}>2 ) | 10^{3}-2 \times 10^{5} | 0,40 | 0,60 |
| Alinhados | 2 \times 10^{5}-2 \times 10^{6} | 0,021 | 0,84 |
| Alternados | 2 \times 10^{5}-2 \times 10^{6} | 0,022 | 0,84 |
Fator de correção \mathbf{C}_{\mathbf{2}} para, \mathrm{N}_{\mathrm{F}}<20
\boldsymbol{N}_{\boldsymbol{F}} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5} \mathbf{7} \mathbf{1 0} \mathbf{1 3} \mathbf{1 6}
Alinhadas 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Alternadas 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Constantes da Correlação de Grimison
S_{L} / D S_{T} / D
1.25 1.5 2.0 3.0
C_{1} m C_{1} m C_{1} m C_{1} m
Alinhado
1.25 0.348 0.592 0.275 0.608 0.100 0.704 0.0633 0.752
1.50 0.367 0.586 0.250 0.620 0.101 0.702 0.0678 0.744
2.00 0.418 0.570 0.299 0.602 0.229 0.632 0.198 0.648
3.00 0.290 0.601 0.357 0.584 0.374 0.581 0.286 0.608
Alternado
0.600 - - - - - - 0.213 0.636
0.900 - - - - 0.446 0.571 0.401 0.581
1.000 - - 0.497 0.558 - - - -
1.125 - - - - 0.478 0.565 0.518 0.560
1.250 0.518 0.556 0.505 0.554 0.519 0.556 0.522 0.562
1.500 0.451 0.568 0.460 0.562 0.452 0.568 0.488 0.568
2.000 0.404 0.572 0.416 0.568 0.482 0.556 0.449 0.570
3.000 0.310 0.592 0.356 0.580 0.440 0.562 0.428 0.574 ]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
Dados do problema (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Vapor d’água saturado à \,100^\circ\mathrm{C}\, alimentando o interior dos tubos (logo a superfície dos tubos pode ser tomada como \,T_s=100^\circ\mathrm{C}\,).
  • Ar entra a \,1\\ \text{atm}\, e \,T_{in}=25^\circ\mathrm{C}\,.
  • Velocidade livre do ar: \,U_\infty=5{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Tubos: comprimento \,L=1{,}5\\ \mathrm{m}, diâmetro \,D=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
  • Número total de tubos: \,N=196.
  • Arranjo: alinhado quadrado com espaçamento transversal e longitudinal \,S_T=S_L=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
O que foi pedido:
  • Calcular a taxa de transferência de calor para o ar \dot{Q} usando:
    1. A correlação de Grimison.
    2. A correlação de Zhukauskas (Zukauskas), e comparar os resultados.
  • Observação dada: para Zhukauskas, considere que \,T_{\text{sai}} é 10^\circ\mathrm{C} menor que a temperatura da superfície do tubo (vou usar isso para avaliar propriedades superficiais quando for necessário).
Observações práticas que vou usar (não resolvo ainda):
  • O ar aquece ao passar pelo feixe; para obter \dot{Q} preciso da troca convectiva total na superfície externa dos tubos: \dot{Q}=h\,A_s\,\Delta T_{\text{efetiva}}. Como a temperatura do ar varia do inlet ao outlet, vou resolver por balanço energético envolvendo m_{\dot{}} do ar e a resistência convectiva com um método iterativo simples (uma iteração costuma convergir rápido).
  • É preciso estimar propriedades do ar (densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu, condutividade térmica k, número de Prandtl \Pr) num temperatura de filme apropriada. Vou explicar e mostrar como escolhi esses valores quando usá-los.

Passo 2

Estratégia de resolução — método escolhido e por quê.
Por que usar essas correlações:
  • A questão pede explicitamente Grimison e Zhukauskas (essas são correlações empíricas para convecção forçada em escoamento cruzado sobre bancos de tubos). Logo usarei as duas.
  • Para cada correlação preciso do número de Reynolds baseado no diâmetro do tubo: \,Re_D=\dfrac{\rho\,U_\infty D}{\mu}\,.
  • A abordagem prática: calcular a condutância convectiva média h (de cada correlação) com propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme; calcular a área de troca A_s total; fazer balanço de energia para achar \,T_{out} e \dot{Q}. Se a temperatura média usada para propriedades mudar significativamente, repetir (iterações) até convergência. Vou efetuar 1–2 iterações até valores estáveis (convergência rápida).

Passo 3

Geometria do feixe, área superficial e vazão mássica de ar.
  • Como o arranjo é quadrado alinhado e \,N=196, o número de colunas e linhas é \sqrt{196}=14. Logo há 14 tubos na direção do escoamento (número de fileiras que o ar encontra), isto é \,N_f=14.
  • Largura total do feixe na direção do fluxo (medida entre centros dos tubos) aproximada por
    W = N_{\text{colunas}}\;S_L = 14\cdot 0{,}015\\ \mathrm{m} = 0{,}21\\ \mathrm{m}.
  • Área frontal disponível ao fluxo (plano perpendicular ao escoamento) aproximada por
    A_{\text{frontal}} = W\cdot L = 0{,}21\\ \mathrm{m}\cdot 1{,}5\\ \mathrm{m} = 0{,}315\\ \mathrm{m^2}.
    (esta é a área que o ar atravessa com velocidade livre dada).
  • Para estimar a vazão mássica do ar: preciso da densidade no estado de entrada. Tomando ar ideal a p=1\\ \text{atm} e T_{in}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K},
    \rho_{in} = \dfrac{p}{R\,T_{in}} = \dfrac{101325}{287\cdot 298{,}15}\approx 1{,}184\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Vazão mássica do ar:
    \dot{m} = \rho_{in}\,U_\infty\,A_{\text{frontal}} = 1{,}184\cdot 5{,}5\cdot 0{,}315 \approx 2{,}053\\ \mathrm{kg/s}.
    (arredondei a 4 dígitos úteis: \dot{m}\approx 2{,}053\\ \mathrm{kg/s}.)
  • Área de superfície externa total dos tubos (troca convectiva lateral):
    A_s = N\cdot(\pi D L) = 196\cdot\pi\cdot 0{,}012\cdot 1{,}5 \approx 11{,}09\\ \mathrm{m^2}.
Vou usar c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} como valor típico para ar (ligeira variação com temperatura, mas aceitável aqui).

Passo 4

Propriedades do ar e definição de temperatura de filme — como escolhi os valores.
  • Para aplicar as correlações precisamos de propriedades em uma temperatura de filme. Defino: T_{\text{film}} = \frac{T_s + T_{b,\text{médio}}}{2},éonde T_{b,\text{médio}}é é a temperatura média do ar no lado externo. No início não conheço T_{b,\text{médio}}é, então faço uma primeira estimativa simples: usar T_{b,\text{médio,0}}=(T_{in}+T_s)/2é. Depois itero.
  • Primeira estimativa (inicial): T_{b,\text{médio,0}}=(25+100)/2=62{,}5^\circ\mathrm{C}é. Logo T_{\text{film,0}}=(100+62{,}5)/2=81{,}25^\circ\mathrm{C}. Para simplificar e porque as propriedades não mudam muito, usei no cálculo prático uma aproximação intermediária: na primeira iteração considerei T_{\text{film}}\approx 69{,}9^\circ\mathrm{C} (que surge do processo iterativo abaixo). Mas explicarei passo a passo as propriedades usadas e as aproximações:
  • Valores aproximados de propriedades do ar em torno de 340\\ \mathrm{K} (aprox.\ 67^\circ\mathrm{C}):
    • viscosidade dinâmica: \mu \approx 2{,}03\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
    • condutividade térmica: k \approx 0{,}0296\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • número de Prandtl: \Pr \approx 0{,}691.
  • Para o cálculo de \Pr_s (Prandtl na superfície para o fator (\Pr/\Pr_s)^{0{,}25} de Zhukauskas), o enunciado pediu usar T_{s}-10^\circ\mathrm{C}, ou seja 90^\circ\mathrm{C}. Em 90^\circ\mathrm{C} estimei \Pr_s\approx 0{,}666.
  • Observação: expliquei a origem das propriedades (estimativas baseadas em tabelas/tendência com temperatura; variações pequenas não afetam dramaticamente o resultado final). Vou usar essas propriedades atualizadas durante as iterações.

Passo 5

Cálculo do número de Reynolds (baseado no diâmetro do tubo) com as propriedades de filme.
  • Usando \rho no film temp (para T_{\text{film}}\approx 343\\ \mathrm{K} obtive \rho\approx 1{,}030\\ \mathrm{kg/m^3}) e \mu\approx 2{,}03\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\,s}: Re_D = \dfrac{\rho\,U_\infty\,D}{\mu} = \dfrac{1{,}030\cdot 5{,}5\cdot 0{,}012}{2{,}03\times 10^{-5}} \approx 3{,}34\times 10^{3}.
  • Conclusão: Re_D\approx 3{,}3\times 10^{3}. Isso posiciona o escoamento no intervalo [10^{3},\,2\times 10^{5}], que é o intervalo usado por certas entradas da tabela de Zhukauskas (caso alinhado).

Passo 6

Correlação de Grimison — fórmula, constantes e cálculo do coeficiente convectivo h.
  • Fórmula (forma usada aqui para Grimison): Nu_D = C_1\,Re_D^{\,m}\,\Pr^{1/3},onde Nu_D=\dfrac{hD}{k}.
    (Essa é a forma empírica frequentemente usada para a correlação de Grimison; C_1 e m dependem das razões S_L/D e S_T/D.)
  • Do quadro dado: para arranjo alinhado com S_L/D=S_T/D=1{,}25 lemos (peguei do quadro de Grimison) C_1 = 0{,}348,\qquad m = 0{,}592.
  • Valores usados (propriedades no T_{\text{film}}\approx 343\\ \mathrm{K}): Re_D \approx 3{,}342\times 10^3,\qquad \Pr \approx 0{,}691,\qquad k\approx 0{,}0296\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Calcule Nu_D: Re_D^{m} = (3{,}342\times 10^3)^{0{,}592} \approx 122{,}07,
\Pr^{1/3} \approx 0{,}691^{1/3}\approx 0{,}884.
Nu_D = 0{,}348\cdot 122{,}07\cdot 0{,}884 \approx 37{,}54.
  • Coeficiente convectivo médio: h = \dfrac{Nu_D\,k}{D} = \dfrac{37{,}54\cdot 0{,}0296}{0{,}012} \approx 92{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 7

Balanço energético e solução iterativa para \dot{Q} (usando h de Grimison).
  • Relações usadas:
    • Balanço de energia para o ar: \dot{Q} = \dot{m}\,c_p\,(T_{out}-T_{in}).
    • Transferência convectiva na superfície (média): \dot{Q} = h\,A_s\,\bigl(T_s - T_{b,\text{médio}}\bigr),éonde tomei T_{b,\text{médio}}=(T_{in}+T_{out})/2é (aproximação linear razoável para este tipo de problema).
  • Eliminando T_{b,\text{médio}}é e isolando \Delta T_{out}=T_{out}-T_{in}: \dot{m}c_p\Delta T_{out} = hA_s\Bigl(T_s - \bigl(T_{in}+\tfrac{\Delta T_{out}}{1}\bigr)/2\Bigr) = hA_s\bigl(T_s-T_{in}-\tfrac{\Delta T_{out}}{2}\bigr).Arrumando os termos: \Delta T_{out}\,\bigl(\dot{m}c_p + \tfrac{1}{2}hA_s\bigr) = hA_s\,(T_s-T_{in}).Logo \Delta T_{out} = \dfrac{hA_s\,(T_s-T_{in})}{\dot{m}c_p + \tfrac{1}{2}hA_s}.
  • Substituindo valores (usando h=92{,}7\\ \mathrm{W/m^2K}, A_s=11{,}09\\ \mathrm{m^2}, \dot{m}=2{,}053\\ \mathrm{kg/s}, c_p=1005\\ \mathrm{J/kgK}, T_s-T_{in}=75\\ \mathrm{K}): hA_s \approx 92{,}7\cdot 11{,}09 \approx 1{,}028{,}5\\ \mathrm{W/K}.
\dot{m}c_p \approx 2{,}053\cdot 1005 \approx 2{,}064{,}6\\ \mathrm{W/K}.
\Delta T_{out} = \dfrac{1{,}028{,}5\cdot 75}{2{,}064{,}6 + 0{,}5\cdot 1{,}028{,}5} =\dfrac{77{,}137{,}5}{2{,}578{,}8} \approx 29{,}92\\ \mathrm{K}.
Então
T_{out}\approx 25 + 29{,}92 = 54{,}92^\circ\mathrm{C}.
  • Com isso:
    \dot{Q} = \dot{m}c_p\Delta T_{out} \approx 2{,}053\cdot 1005\cdot 29{,}92 \approx 61{,}78\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
    Ou seja, \dot{Q}_{\text{Grimison}}\approx 61{,}8\\ \mathrm{kW}.
  • Iteração: com este T_{out} calculei novamente o T_{b,\text{médio}}é e o T_{\text{film}} e recomputeis as propriedades e h. Uma iteração mostrou pouca variação e resultou em h bem próximo do valor acima; por isso o resultado está convergido (valores finais usados nas contas acima já refletem a segunda iteração).

Passo 8

Correlação de Zhukauskas — fórmula, constantes, fator C_2 e cálculo de h.
  • Forma utilizada da correlação de Zhukauskas (uma forma padrão e compatível com os dados fornecidos): Nu_D = C_1\,C_2\,Re_D^{\,m}\,\Pr^{0{,}36}\left(\dfrac{\Pr}{\Pr_s}\right)^{0{,}25}.Explicação dos termos:
    • C_1 e m são constantes fornecidas no quadro (dependem de arranjo e intervalo de Re_D).
    • C_2 é um fator que corrige para o número de fileiras N_f no sentido do fluxo (tabela fornecida para N_f<20).
    • \Pr_s é o número de Prandtl avaliado na temperatura próxima da superfície (o enunciado pediu usar T_s-10^\circ\mathrm{C} para esse propósito).
  • Escolhas a partir dos quadros fornecidos:
    • Nosso Re_D\approx 3{,}34\times 10^3 está no intervalo 10^3 - 2\times 10^5 para o caso “Alinhados”. Então, do quadro de Zhukauskas usei: C_1 = 0{,}27,\qquad m = 0{,}63 \quad(\text{para alinhados, intervalo indicado}).
    • Para N_f=14 (número de fileiras), o quadro de correção C_2 para alinhados dá: em N_f=13 tem C_2=0{,}98 e em N_f=16 tem C_2=0{,}99. Interpolei e tomei C_2\approx 0{,}983 (aproximação suave). Para simplicidade numérica nestes cálculos usei C_2\approx 0{,}983.
  • Propriedades usadas:
    • Re_D\approx 3{,}342\times 10^3 (conforme passo 5),
    • \Pr\approx 0{,}691 no T_{\text{film}},
    • \Pr_s\approx 0{,}666 (avaliado em T_s-10^\circ\mathrm{C}=90^\circ\mathrm{C}).
  • Calcule Nu_D: Re_D^{m} = (3{,}342\times 10^3)^{0{,}63}\approx 165{,}3,
C_1C_2 = 0{,}27\cdot 0{,}983 \approx 0{,}2654,
\Pr^{0{,}36} \approx 0{,}691^{0{,}36} \approx 0{,}8756,
\left(\dfrac{\Pr}{\Pr_s}\right)^{0{,}25} \approx \left(\dfrac{0{,}691}{0{,}666}\right)^{0{,}25} \approx 1{,}012.
Nu_D \approx 0{,}2654\cdot 165{,}3\cdot 0{,}8756\cdot 1{,}012 \approx 38{,}86.
  • Coeficiente convectivo médio a partir de Nu_D: h = \dfrac{Nu_D\,k}{D} = \dfrac{38{,}86\cdot 0{,}0296}{0{,}012} \approx 95{,}9\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 9

Balanço energético com h de Zhukauskas e cálculo final de \dot{Q}.
  • Repito a mesma fórmula usada no passo 7 com o novo h: \Delta T_{out} = \dfrac{hA_s\,(T_s-T_{in})}{\dot{m}c_p + \tfrac{1}{2}hA_s}.
  • Substituindo h=95{,}9\\ \mathrm{W/(m^2K)}, A_s=11{,}09\\ \mathrm{m^2}, \dot{m}c_p\approx 2{,}064{,}6\\ \mathrm{W/K}: hA_s \approx 95{,}9\cdot 11{,}09 \approx 1{,}063{,}6\\ \mathrm{W/K},
\Delta T_{out} = \dfrac{1{,}063{,}6\cdot 75}{2{,}064{,}6 + 0{,}5\cdot 1{,}063{,}6} = \dfrac{79{,}770}{2{,}596{,}4} \approx 30{,}73\\ \mathrm{K}.
T_{out}\approx 25 + 30{,}73 = 55{,}73^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto \dot{Q} = \dot{m}c_p\Delta T_{out} \approx 2{,}053\cdot 1005\cdot 30{,}73 \approx 63{,}45\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.Ou seja, \dot{Q}_{\text{Zhukauskas}}\approx 63{,}5\\ \mathrm{kW}.

Passo 10

Comparação, interpretação e certeza das aproximações.
  • Resultados finais:
    • Grimison: \dot{Q}\approx 61{,}8\\ \mathrm{kW}.
    • Zhukauskas: \dot{Q}\approx 63{,}5\\ \mathrm{kW}.
  • Interpretação: as duas correlações dão valores próximos (diferença da ordem de \sim 2{,}7\%), indicando consistência. A diferença vem de detalhes empíricos diferentes nas correlações e do uso do fator C_2 em Zhukauskas.
  • Fontes de aproximação/erro:
    • Estimativa das propriedades do ar (mu, k, cp, Pr) a partir de valores tabelados/interpolados; usei aproximações razoáveis para temperaturas de filme e superfície. Pequenas variações nas propriedades mudariam h e \dot{Q} modestamente.
    • Usei a aproximação linear T_{b,\text{médio}}=(T_{in}+T_{out})/2é, prática comum em problemas de escoamento em que as resistências internas são dominantes pela convecção externa.
    • Para C_2 fiz interpolação entre valores tabulados; isso é aceitável para N_f=14.
  • Conclusão: ambos os resultados são válidos; para projeto prático recomenda-se adotar um fator de segurança e, se possível, comparar com medição ou simulação mais detalhada.

Resposta

Grimison: \dot{Q}\approx 61{,}8\\ \mathrm{kW}
Zhukauskas: \dot{Q}\approx 63{,}5\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados