Água escoa em regime permanente em um tubo de ferro fundido ( e=0,26 mm ), horizontal, de 125 mm de diâmetro. O tubo tem comprimento de 200 m e a queda de pressão entre as seções le 2 é igual a 200 kPa . Determine a vazão volumétrica, em m^3 / s, através do tubo. Considere para água rho=998 kg / m^3 e mu=0,001 N s / m^2.

Passo 1

Resumo do problema: temos água escoando em um tubo horizontal de ferro fundido (rugosidade absoluta e=0,26,mm), diâmetro interno D=125,mm, comprimento L=200,m, e uma queda de pressão DekPa entre as extremidades. Precisamos achar a vazão volumétrica Q em regime permanente.
Conteúdo envolvido: escoamento interno em tubos, número de Reynolds, fator de atrito de Darcy–Weisbach e equação de Colebrook (ou fórmula de Swamee–Jain). Vamos usar as propriedades da água: rho=998,kg/m ^3, mu=0,001,Pa·s.

Passo 2

Teoria básica e equação de Darcy–Weisbach:
Para um escoamento em tubo, a perda de carga De está relacionada à velocidade média v por
De
onde
- f é o fator de atrito (sem dimensão),
- L/D é a razão comprimento/diâmetro,
- rho é a densidade do fluido,
- v é a velocidade média.
Além disso, a vazão volumétrica Q é
Q = A,v = pi D^24,v,

Passo 3

Determinar o regime de escoamento e o fator f:
  1. Número de Reynolds: Re = rho,v,Dmu,
    Ainda não sabemos v, mas antecipamos que o escoamento será turbulento (já que De grande e tubo longo).
    2. Rugosidade relativa:
    eD = 0,26 mm125 mm = 0,00208,
  2. Usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação da Colebrook): f = 0,25l[log10!l(tfrace3,7D + tfrac5,74Re^0.9r)r]^2,

Passo 4

Iteração prática (chute inicial e refinamento):
  1. Primeiro chute: fapprox0,02.
  2. Velocidade inicial: da Darcy–Weisbach, v approx raiz2,De
  3. Re cálculo: Re = 998cdot3,54cdot0,1250,001 approx 4,42times10^5
    4. Novo f pela Swamee–Jain:
    - tfrace3,7D=0,00208/3,7approx0,000562,
    - Re^0.9approx1,21times10^5,
    - logo fapprox0,0242.
    5. Repetindo o cálculo de v com f=0,0242:
    $$v = \sqrt{\frac{2\cdot200,000\cdot0{,}125}{0{,}0242\cdot998\cdot200}}
    \approx 3{,}22\text{ m/s},$$  
    
    e isso consolida v = raiz2cdot200,000cdot0,1250,0242cdot998cdot200 approx 3,22 m/s, e Reapprox4,0times10^5 (convergência).

Passo 5

Cálculo da vazão Q:
Área da seção
A = pi D^24 = pi,(0,125)^24 approx 0,01227 m^2
Logo
Q = A,v approx 0,01227cdot3,22 approx 0,0395 m^3/s

Resposta

A vazão volumétrica através do tubo é aproximadamente
boxedQ approx 3,95times10^-2 m^3/s,

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