Um óleo viscoso escoa, em regime permanente, entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é 1,250 kPa / m e a meia altura do canal é h=3,0 mm. Calcule o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal. Considere mu=0,60 Pa.s.

Passo 1

Beleza, o exercício é de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente escoamento laminar e totalmente desenvolvido entre placas paralelas (fluxo de Poiseuille planar).
O que a questão pede:
  • Módulo e sentido da tensão de cisalhamento na face da placa superior.
  • Vazão volumétrica que passa pelo canal (assumindo 1 m de largura, pois não deram outra dimensão).
O que vamos precisar:
  • Relação entre gradiente de pressão e tensão de cisalhamento em escoamento desenvolvido.
  • Perfil de velocidade para fluido newtoniano entre placas: solução da equação de Navier–Stokes em uma dimensão.
  • Integração desse perfil para achar Q.

Passo 2

Primeiro, a tensão de cisalhamento no escoamento totalmente desenvolvido varia linearmente com a coordenada tauxy(y) ;=; dpdx;y . Se o gradiente de pressão é tauw ;=; tauxy(h) ;=; dpdx;h , então:
|tauw| = |dpdx|;h = 1,250times10^3;Pam;times0,003;m =3,75times10^3;Pa =3,75;kPa
Aqui a origem está no meio do canal, e as placas em e .
Na placa superior , logo
Dados:

Logo o módulo é
Sentido: a pressão decai ao longo do escoamento (isto é, empurra o fluido na direção ), então a parede “sente” a tensão puxando no sentido do escoamento (positivo em ).

Passo 3

Para achar a vazão, primeiro precisamos do perfil de velocidade mu,d^2udy^2 ;=; dpdx . Em escoamento unidimensional, estacionário e desenvolvido, a equação reduz a
C2=-dp/dx2mu,h^2
Integramos duas vezes e aplicamos boxedu(y) =12mu,dpdx,(y^2 - h^2) :
  1. .
Como e , a simetria manda e
Então fica
Note que é negativo na prática, garantindo .

Passo 4

Agora a vazão por unidade de largura (largura Q =integral-h^+h u(y),dy =integral-h^+h12mu,dpdx,(y^2-h^2),dy m) é
integral-h^h(y^2-h^2),dy =[tfracy^33-h^2y]-h^h =2h^33-2h^3 =-4h^33
Fazendo a integral:
Q =12mu,dpdx (-4h^33) =-dpdx,2h^33mu
Então
Q =1,25times10^6;Pa/m;times2,(0,003)^33;times0,60 approx0,0375;m^3/s per m width
Usando , , :

Resposta

Tensão de cisalhamento na placa superior:
 • Módulo boxedQapprox0,0375;m^3/s (por 1,m de largura)
 • Sentido: no mesmo sentido do escoamento (direção positiva ).
Vazão volumétrica por metro de largura:

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