Um óleo viscoso escoa, em regime permanente, entre duas placas paralelas. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é e a meia altura do canal é . Calcule o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal. Considere Pa.s.
Passo 1
Beleza, o exercício é de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente escoamento laminar e totalmente desenvolvido entre placas paralelas (fluxo de Poiseuille planar).
O que a questão pede:
Módulo e sentido da tensão de cisalhamento na face da placa superior.
Vazão volumétrica que passa pelo canal (assumindo 1 m de largura, pois não deram outra dimensão).
O que vamos precisar:
Relação entre gradiente de pressão e tensão de cisalhamento em escoamento desenvolvido.
Perfil de velocidade para fluido newtoniano entre placas: solução da equação de Navier–Stokes em uma dimensão.
Integração desse perfil para achar Q.
Passo 2
Primeiro, a tensão de cisalhamento no escoamento totalmente desenvolvido varia linearmente com a coordenada . Se o gradiente de pressão é , então:
Aqui a origem está no meio do canal, e as placas em e .
Na placa superior , logo
Dados:
Logo o módulo é
Sentido: a pressão decai ao longo do escoamento (isto é, empurra o fluido na direção ), então a parede “sente” a tensão puxando no sentido do escoamento (positivo em ).
Passo 3
Para achar a vazão, primeiro precisamos do perfil de velocidade mu,d^2udy^2 ;=; dpdx . Em escoamento unidimensional, estacionário e desenvolvido, a equação reduz a
C2=-dp/dx2mu,h^2
Integramos duas vezes e aplicamos boxedu(y) =12mu,dpdx,(y^2 - h^2) :
.
Como e , a simetria manda e
Então fica
Note que é negativo na prática, garantindo .
Passo 4
Agora a vazão por unidade de largura (largura Q =integral-h^+h u(y),dy =integral-h^+h12mu,dpdx,(y^2-h^2),dy m) é
Q =1,25times10^6;Pa/m;times2,(0,003)^33;times0,60 approx0,0375;m^3/s per m width
Usando , , :
Resposta
Tensão de cisalhamento na placa superior:
• Módulo boxedQapprox0,0375;m^3/s (por 1,m de largura)
• Sentido: no mesmo sentido do escoamento (direção positiva ).