Água escoa em regime permanente em uma tubulação de aço galvanizado,
, com diâmetro de 100 mm , de modo que o número de Reynolds vale
. Determine a força de atrito na parede da tubulação, por unidade de comprimento. Considere a seguinte relação (condutos circulares):
Passo 1
Primeiro vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Rugosidade absoluta:
. - Diâmetro da tubulação:
. - Número de Reynolds:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a força de atrito na parede da tubulação, por unidade de comprimento (isto é, a força de cisalhamento exercida pela parede sobre o fluido aplicada a uma unidade de comprimento do tubo, em
).
Observações que vou usar (não são perguntas, apenas escolhas necessárias para calcular):
- Vou trabalhar no SI: converter
e para metros. - Para obter a velocidade média
uso a definição de Reynolds e a viscosidade cinemática típica da água. Vou assumir a água em temperatura ambiente com e densidade . Se a prova pedisse outra temperatura, esse valor deveria ser dado; como não foi, uso o valor padrão. - Para calcular o fator de atrito
vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (aproximação para escoamento turbulento em conduto rugoso), que é prática para provas porque evita iterações da equação de Colebrook.
Passo 2
Converter unidades para o SI e calcular a velocidade média
a partir de
.
Conversões:
Relação definidora do número de Reynolds (forma conveniente com viscosidade cinemática
):
Isolando
:
Substituindo os valores (usei
):
Portanto a velocidade média do escoamento é
.
Passo 3
Explicar como obter o fator de atrito
e calculá-lo (motivo:
liga perda de carga/velocidade ao cisalhamento na parede).
Contexto rápido e fórmula usada:
- Para escoamento turbulento em conduto rugoso, o fator de atrito de Darcy–Weisbach
pode ser encontrado pela equação implícita de Colebrook. Para evitar iteração, uma fórmula explícita com boa precisão é a de Swamee–Jain:
Nessa fórmula:
-
é a rugosidade relativa, -
é o número de Reynolds dado.
Calcular
e
:
Calcular
. Uma forma prática:
portanto
Somando os termos dentro do logaritmo:
Agora o logaritmo e
:
Logo
Assim, o fator de atrito de Darcy é
.
Passo 4
Relacionar a tensão de cisalhamento na parede
com o fator de atrito
e a velocidade
(vou também mostrar a derivação curta usando perda de carga).
Relações úteis:
- Perda de carga segundo Darcy–Weisbach:
- Relação dada no enunciado (para condutos circulares):
Aqui
é o peso específico do fluido. Igualando as duas expressões (ambas representam a perda de carga por comprimento
):
Cancelando
e multiplicando ambos os lados por
obtém-se:
Isolando
:
Essa é uma fórmula padrão que liga
e a tensão de cisalhamento na parede.
Passo 5
Calcular numericamente
usando
,
e
.
Primeiro compute
:
Agora:
Calcular passo a passo:
Portanto a tensão de cisalhamento na parede é
(ou
).
Passo 6
Converter essa tensão de parede na força de atrito por unidade de comprimento do tubo (o que o enunciado pediu).
Para uma unidade de comprimento (
), a área de parede sujeita ao cisalhamento é o perímetro vezes o comprimento:
A força de atrito por unidade de comprimento
(em
) é:
Substituindo
e
:
Calcule:
Também é útil mostrar a fórmula compacta que liga tudo (verificação):
Substituindo os valores nessa expressão dá o mesmo resultado aproximado
.
Passo 7
Resumo físico e incentivo rápido: o valor é pequeno — poucas newtons por metro — porque a velocidade é moderada e o diâmetro relativamente grande; mas esse esforço é o que gera perda de carga no escoamento. Mandou bem por trazer um enunciado prático! Se quiser, posso mostrar como o resultado muda com outra temperatura (mudando
) ou com outro diâmetro/rugosidade.