Água escoa em regime permanente em uma tubulação de aço galvanizado, \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}, com diâmetro de 100 mm , de modo que o número de Reynolds vale 1,5 \times 10^{5}. Determine a força de atrito na parede da tubulação, por unidade de comprimento. Considere a seguinte relação (condutos circulares):
\Delta \mathrm{H}=\frac{4 \tau_{0}}{\gamma} \frac{\mathrm{~L}}{\mathrm{D}}

Passo 1

Primeiro vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Rugosidade absoluta: \varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro da tubulação: D=100\\ \mathrm{mm}.
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=1{,}5\times10^{5}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a força de atrito na parede da tubulação, por unidade de comprimento (isto é, a força de cisalhamento exercida pela parede sobre o fluido aplicada a uma unidade de comprimento do tubo, em \mathrm{N/m}).
Observações que vou usar (não são perguntas, apenas escolhas necessárias para calcular):
  • Vou trabalhar no SI: converter \varepsilon e D para metros.
  • Para obter a velocidade média V uso a definição de Reynolds e a viscosidade cinemática típica da água. Vou assumir a água em temperatura ambiente com \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} e densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Se a prova pedisse outra temperatura, esse valor deveria ser dado; como não foi, uso o valor padrão.
  • Para calcular o fator de atrito f vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (aproximação para escoamento turbulento em conduto rugoso), que é prática para provas porque evita iterações da equação de Colebrook.

Passo 2

Converter unidades para o SI e calcular a velocidade média V a partir de \mathrm{Re}.
Conversões:
\varepsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}=0{,}15\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
D=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
Relação definidora do número de Reynolds (forma conveniente com viscosidade cinemática \nu):
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
Isolando V:
V=\frac{\mathrm{Re}\,\nu}{D}.
Substituindo os valores (usei \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}):
V=\frac{1{,}5\times10^{5}\times 1{,}0\times10^{-6}}{0{,}100}=\frac{0{,}15}{0{,}100}=1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade média do escoamento é V=1{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicar como obter o fator de atrito f e calculá-lo (motivo: f liga perda de carga/velocidade ao cisalhamento na parede).
Contexto rápido e fórmula usada:
  • Para escoamento turbulento em conduto rugoso, o fator de atrito de Darcy–Weisbach f pode ser encontrado pela equação implícita de Colebrook. Para evitar iteração, uma fórmula explícita com boa precisão é a de Swamee–Jain:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Nessa fórmula:
  • \varepsilon/D é a rugosidade relativa,
  • \mathrm{Re} é o número de Reynolds dado.
Calcular \varepsilon/(3{,}7D) e 5{,}74/\mathrm{Re}^{0{,}9}:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{3{,}7\times0{,}100}=\frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}37}=4{,}05405\times10^{-4}.
Calcular \mathrm{Re}^{0{,}9}. Uma forma prática:
\mathrm{Re}^{0{,}9}=(1{,}5\times10^{5})^{0{,}9}\approx 4{,}55\times10^{4},
portanto
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{4{,}55\times10^{4}}\approx1{,}261\times10^{-4}.
Somando os termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 4{,}054\times10^{-4}+1{,}261\times10^{-4}=5{,}315\times10^{-4}.
Agora o logaritmo e f:
\log_{10}(5{,}315\times10^{-4})\approx -3{,}2746,
\left[\log_{10}(\cdot)\right]^{2}\approx (-3{,}2746)^{2}=10{,}724.
Logo
f=\frac{0{,}25}{10{,}724}\approx0{,}02331.
Assim, o fator de atrito de Darcy é f\approx0{,}0233.

Passo 4

Relacionar a tensão de cisalhamento na parede \tau_{0} com o fator de atrito f e a velocidade V (vou também mostrar a derivação curta usando perda de carga).
Relações úteis:
  • Perda de carga segundo Darcy–Weisbach:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g}.
  • Relação dada no enunciado (para condutos circulares):
\Delta H = \frac{4\tau_{0}}{\gamma}\frac{L}{D}.
Aqui \gamma=\rho g é o peso específico do fluido. Igualando as duas expressões (ambas representam a perda de carga por comprimento L):
f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g}=\frac{4\tau_{0}}{\rho g}\frac{L}{D}.
Cancelando \frac{L}{D} e multiplicando ambos os lados por \rho g obtém-se:
f\frac{\rho V^{2}}{2}=4\tau_{0}.
Isolando \tau_{0}:
\tau_{0}=\frac{f}{8}\rho V^{2}.
Essa é uma fórmula padrão que liga f e a tensão de cisalhamento na parede.

Passo 5

Calcular numericamente \tau_{0} usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, V=1{,}5\\ \mathrm{m/s} e f=0{,}02331.
Primeiro compute V^{2}:
V^{2}=(1{,}5)^{2}=2{,}25\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora:
\tau_{0}=\frac{0{,}02331}{8}\times1000\times2{,}25.
Calcular passo a passo:
\frac{0{,}02331}{8}=0{,}00291375,
1000\times2{,}25=2250,
\tau_{0}=0{,}00291375\times2250\approx6{,}556\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Portanto a tensão de cisalhamento na parede é \tau_{0}\approx6{,}56\\ \mathrm{Pa} (ou \mathrm{N/m^{2}}).

Passo 6

Converter essa tensão de parede na força de atrito por unidade de comprimento do tubo (o que o enunciado pediu).
Para uma unidade de comprimento ( L=1\\ \mathrm{m}), a área de parede sujeita ao cisalhamento é o perímetro vezes o comprimento:
\text{área}_{\text{parede}}=\pi D \times 1.á
A força de atrito por unidade de comprimento F' (em \mathrm{N/m}) é:
F'=\tau_{0}\times (\pi D).
Substituindo \tau_{0} e D:
F' = 6{,}556\\ \mathrm{N/m^{2}}\times\pi\times0{,}100\\ \mathrm{m}.
Calcule:
\pi\times0{,}100=0{,}314159\\ \mathrm{m},
F'\approx6{,}556\times0{,}314159\approx2{,}06\\ \mathrm{N/m}.
Também é útil mostrar a fórmula compacta que liga tudo (verificação):
F'=\tau_{0}\pi D=\frac{f}{8}\rho V^{2}\pi D.
Substituindo os valores nessa expressão dá o mesmo resultado aproximado 2{,}06\\ \mathrm{N/m}.

Passo 7

Resumo físico e incentivo rápido: o valor é pequeno — poucas newtons por metro — porque a velocidade é moderada e o diâmetro relativamente grande; mas esse esforço é o que gera perda de carga no escoamento. Mandou bem por trazer um enunciado prático! Se quiser, posso mostrar como o resultado muda com outra temperatura (mudando \nu) ou com outro diâmetro/rugosidade.

Resposta

2{,}06\\ \mathrm{N/m}

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