Considere um meio sólido no qual a equação de transferência de calor é dada por:
Pode-se afirmar que:
a. Transferência de calor: ( ) Permanente ( ) Transiente
b. A equação é usada para: ( ) Parede plana ( ) Cilindro ( ) Esfera
c. A geração de calor no meio é: ( ) Uniforme ( ) Não uniforme
d. A condutividade do meio é: ( ) Constante ( ) Variável
Pode-se afirmar que:
a. Transferência de calor: ( ) Permanente ( ) Transiente
b. A equação é usada para: ( ) Parede plana ( ) Cilindro ( ) Esfera
c. A geração de calor no meio é: ( ) Uniforme ( ) Não uniforme
d. A condutividade do meio é: ( ) Constante ( ) Variável
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte equação diferencial de transferência de calor (copiada do enunciado):
Observações e símbolos que aparecem no enunciado:
-
: coordenada radial. -
: temperatura, função de e possivelmente de . -
: termo relacionado à geração de calor no meio (forma escrita sem dependência explícita de ou no enunciado). -
: difusividade térmica (aparece como constante multiplicando o termo temporal). -
: derivada parcial temporal da temperatura (presença de variação no tempo).
As perguntas pedidas (opções múltipla escolha):
a. Transferência de calor: ( ) Permanente ( ) Transiente
b. A equação é usada para: ( ) Parede plana ( ) Cilindro ( ) Esfera
c. A geração de calor no meio é: ( ) Uniforme ( ) Não uniforme
d. A condutividade do meio é: ( ) Constante ( ) Variável
a. Transferência de calor: ( ) Permanente ( ) Transiente
b. A equação é usada para: ( ) Parede plana ( ) Cilindro ( ) Esfera
c. A geração de calor no meio é: ( ) Uniforme ( ) Não uniforme
d. A condutividade do meio é: ( ) Constante ( ) Variável
Passo 2
Entender o que distingue um problema “permanente” (estado estacionário) de um “transiente”:
- Estado permanente (estacionário): a temperatura não muda com o tempo, ou seja,
. Nessa situação, todas as derivadas temporais são nulas e a equação de balanço é puramente espacial. - Estado transiente: a temperatura varia com o tempo, ou seja,
. A equação de conservação contém termos temporais.
Na equação dada aparece explicitamente o termo
. A presença desse termo indica que a equação descreve evolução temporal da temperatura (ou seja, não é apenas uma equação espacial). Por isso essa equação permite variação de temperatura com o tempo.
Passo 3
Identificar a geometria a partir do operador espacial presente: comparar as formas usuais do operador laplaciano em coordenadas unidimensionais radiais:
- Parede plana (coord. cartesiana unidimensional
): o operador espacial é a segunda derivada simples
- Cilindro (coordenadas cilíndricas, simetria apenas radial
): o operador radial aparece como
- Esfera (coordenadas esféricas, simetria radial
): o operador radial aparece como
Na equação fornecida o operador espacial é exatamente
que corresponde à forma canônica do operador radial para problema com simetria cilíndrica (apenas dependência radial em coordenadas cilíndricas). Portanto a geometria apropriada é a do cilindro.
Passo 4
Analisar o termo de geração de calor
:
- Se a geração volumétrica fosse dependente da posição, normalmente ela apareceria explicitamente como função de
(por exemplo ou ). - No enunciado o termo aparece simplesmente como
(sem dependência explícita de ou ). Isso é a forma usual de escrever geração volumétrica uniforme — um termo constante por unidade de volume.
Portanto, pela forma fornecida, a geração de calor é tratada como uniforme no meio. (Se fosse não uniforme, o enunciado mostraria algo comoou .)
Passo 5
Analisar se a condutividade térmica é constante ou variável:
- A forma geral do termo difusivo com condutividade dependente de
é, em coordenadas cilíndricas, algo como
onde
é a condutividade térmica dependente da posição. A presença de
dentro da derivada mostra variação de condutividade.
- Na equação dada não aparece nenhum
dentro do operador espacial; o operador é simplesmente . Esse fato indica que a condutividade foi assumida constante (ou então foi dividida fora e incorporada ao termo de forma convencional). Além disso, a presença de uma difusividade aparentemente constante (aparece sem argumento) reforça que as propriedades térmicas foram tratadas como constantes.
Logo, a representação da equação é compatível com condutividade constante.
Passo 6
Resumo do raciocínio usado (sem reescrever as alternativas finais):
- A presença de
identifica que a equação descreve evolução temporal (não é apenas espacial). - O operador espacial
é a forma típica do Laplaciano radial para coordenadas cilíndricas. - O termo
sem dependência explícita de ou indica geração volumétrica uniforme. - A ausência de
no operador difusivo e a presença de como constante indicam que a condutividade foi tratada como constante.
Resposta
a. Transiente
b. Cilindro
c. Uniforme
d. Constante
b. Cilindro
c. Uniforme
d. Constante