Água escoa em regime permanente por uma tubulação horizontal que sofre uma redução de diâmetro. Na seção 1 (entrada), o diâmetro é de 20 cm e a velocidade média da água é de
. Na seção 2 (saida), o diâmetro da tubulação é reduzido para 10 cm .
a) Calcule a área da seção transversal em ambas as posições (em
).
b) Determine a nova velocidade da água na seção 2 (em m/s).
c) Explique, com base na equação da continuidade, por que a velocidade aumentou.
a) Calcule a área da seção transversal em ambas as posições (em
b) Determine a nova velocidade da água na seção 2 (em m/s).
c) Explique, com base na equação da continuidade, por que a velocidade aumentou.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede três coisas:
- Dados fornecidos:
- Diâmetro na seção 1:
. - Velocidade média na seção 1:
. - Diâmetro na seção 2:
.
- Diâmetro na seção 1:
- Perguntas:
- (a) Calcular a área da seção transversal em ambas as posições, em
. - (b) Determinar a nova velocidade da água na seção 2, em
. - (c) Explicar, usando a equação da continuidade, por que a velocidade aumentou.
- (a) Calcular a área da seção transversal em ambas as posições, em
Observação importante: os diâmetros estão em centímetros; para calcular áreas em
converto para metros.
Passo 2
Converter os diâmetros para metros e escrever a fórmula da área de um círculo.
-
Conversão:
-
. -
.
-
-
Fórmula da área de seção transversal (círculo):onde
é a área em e é o diâmetro em metros. Aqui é a constante .
Passo 3
Calcular as áreas passo a passo, mostrando cada etapa numérica.
-
Primeiro calcule o raio em cada seção:
-
-
Agora aplicar a fórmula
: - Para a seção 1:
Calculando numericamente: - Para a seção 2:
Calculando numericamente:
- Para a seção 1:
Passo 4
Usar a equação da continuidade para encontrar
. Explicar o conceito.
-
A equação da continuidade para escoamento incompressível e em regime permanente diz que a vazão volumétrica
é a mesma em todas as seções: ondeé a vazão volumétrica ( ), é a área ( ) e é a velocidade média ( ). -
Isolando
: -
Já temos
e . Podemos simplificar a razão: (Observe que ocancela.) -
Portanto:
Passo 5
Explicação didática e intuitiva (por que a velocidade aumentou), ligada à equação da continuidade.
- Intuição: a mesma quantidade de água (mesmo volume por segundo) que passa na seção 1 tem que passar na seção 2 porque o escoamento é permanente e a água é praticamente incompressível. Se a seção fica menor, a água tem que “apertar” mais para manter o mesmo volume por segundo, então a velocidade média aumenta.
- Relação matemática simples: como
é menor que ( neste caso), a velocidade tem que ser maior na mesma proporção inversa para que . Assim . - Observação prática: para tubos circulares, a área varia com o quadrado do diâmetro (
). Quando o diâmetro é reduzido pela metade ( ), a área fica da original, e a velocidade cresce por um fator 4.