Água escoa em regime permanente por uma tubulação horizontal que sofre uma redução de diâmetro. Na seção 1 (entrada), o diâmetro é de 20 cm e a velocidade média da água é de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na seção 2 (saida), o diâmetro da tubulação é reduzido para 10 cm .
a) Calcule a área da seção transversal em ambas as posições (em \mathbf{m}^{\mathbf{2}} ).
b) Determine a nova velocidade da água na seção 2 (em m/s).
c) Explique, com base na equação da continuidade, por que a velocidade aumentou.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede três coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro na seção 1: D_1 = 20\\ \mathrm{cm}.
    • Velocidade média na seção 1: v_1 = 2\\ \mathrm{m/s}.
    • Diâmetro na seção 2: D_2 = 10\\ \mathrm{cm}.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a área da seção transversal em ambas as posições, em \mathrm{m}^2.
    • (b) Determinar a nova velocidade da água na seção 2, em \mathrm{m/s}.
    • (c) Explicar, usando a equação da continuidade, por que a velocidade aumentou.
Observação importante: os diâmetros estão em centímetros; para calcular áreas em \mathrm{m}^2 converto para metros.

Passo 2

Converter os diâmetros para metros e escrever a fórmula da área de um círculo.
  • Conversão:
    • D_1 = 20\\ \mathrm{cm} = 0,20\\ \mathrm{m}.
    • D_2 = 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula da área de seção transversal (círculo):
    A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2,
    onde A é a área em \mathrm{m}^2 e D é o diâmetro em metros. Aqui \pi é a constante \approx 3{,}14159265.

Passo 3

Calcular as áreas passo a passo, mostrando cada etapa numérica.
  • Primeiro calcule o raio em cada seção:
    • r_1 = \dfrac{D_1}{2} = \dfrac{0,20}{2} = 0,10\\ \mathrm{m}.
    • r_2 = \dfrac{D_2}{2} = \dfrac{0,10}{2} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Agora aplicar a fórmula A = \pi r^2:
    • Para a seção 1: A_1 = \pi r_1^2 = \pi (0,10)^2 = \pi \cdot 0,01 = 0,01\pi\\ \mathrm{m}^2.Calculando numericamente: A_1 \approx 0,01\times 3{,}14159265 = 0,0314159265\\ \mathrm{m}^2 \approx 0,0314\\ \mathrm{m}^2.
    • Para a seção 2: A_2 = \pi r_2^2 = \pi (0,05)^2 = \pi \cdot 0,0025 = 0,0025\pi\\ \mathrm{m}^2.Calculando numericamente: A_2 \approx 0,0025\times 3{,}14159265 = 0,0078539816\\ \mathrm{m}^2 \approx 0,00785\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Usar a equação da continuidade para encontrar v_2. Explicar o conceito.
  • A equação da continuidade para escoamento incompressível e em regime permanente diz que a vazão volumétrica Q é a mesma em todas as seções:
    Q = A_1 v_1 = A_2 v_2,
    onde Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}), A é a área ( \mathrm{m}^2) e v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}).
  • Isolando v_2:
    v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1.
  • Já temos A_1 = 0,01\pi e A_2 = 0,0025\pi. Podemos simplificar a razão:
    \frac{A_1}{A_2} = \frac{0,01\pi}{0,0025\pi} = \frac{0,01}{0,0025} = 4.
    (Observe que o \pi cancela.)
  • Portanto:
    v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 2\\ \mathrm{m/s} = 8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Explicação didática e intuitiva (por que a velocidade aumentou), ligada à equação da continuidade.
  • Intuição: a mesma quantidade de água (mesmo volume por segundo) que passa na seção 1 tem que passar na seção 2 porque o escoamento é permanente e a água é praticamente incompressível. Se a seção fica menor, a água tem que “apertar” mais para manter o mesmo volume por segundo, então a velocidade média aumenta.
  • Relação matemática simples: como A_2 é menor que A_1 ( A_2 = A_1/4 neste caso), a velocidade tem que ser maior na mesma proporção inversa para que A_1 v_1 = A_2 v_2. Assim v_2 = (A_1/A_2) v_1 = 4 v_1.
  • Observação prática: para tubos circulares, a área varia com o quadrado do diâmetro ( A\propto D^2). Quando o diâmetro é reduzido pela metade ( D_2 = D_1/2), a área fica (1/2)^2 = 1/4 da original, e a velocidade cresce por um fator 4.

Resposta

A_1 = 0,01\pi\\ \mathrm{m}^2 \approx 0,0314\\ \mathrm{m}^2
A_2 = 0,0025\pi\\ \mathrm{m}^2 \approx 0,00785\\ \mathrm{m}^2
v_2 = 8\\ \mathrm{m/s} (porque, pela continuidade, A_1 v_1 = A_2 v_2 e A_2 é 1/4 de A_1, logo v_2 = 4 v_1).

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