Em uma fábrica, uma prensa hidráulica é usada para moldar peças metálicas. A prensa opera com um fluido incompressivel. O êmbolo de entrada possui um raio de 5 cm e o êmbolo de saida possui um raio de 25 cm . Uma força de 100 N é aplicada no êmbolo de entrada.
a) Determine a razão entre as áreas dos êmbolos ( \boldsymbol{A}_{\text {maior }} / \boldsymbol{A}_{\text {menor }} ).
b) Calcule a intensidade da força de saída gerada no êmbolo maior.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Raio do êmbolo de entrada (menor): r_{\text{menor}} = 5\\ \text{cm}.
  • Raio do êmbolo de saída (maior): r_{\text{maior}} = 25\\ \text{cm}.
  • Força aplicada no êmbolo de entrada: F_{\text{entrada}} = 100\\ \text{N}.
O enunciado pede:
(a) Determinar a razão entre as áreas dos êmbolos, isto é \dfrac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}}.
(b) Calcular a intensidade da força de saída F_{\text{saida}} gerada no êmbolo maior.

Passo 2

Conceito-chave e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Em um fluido incompressível e em equilíbrio, a pressão aplicada em um ponto é transmitida integralmente para todo o fluido (princípio de Pascal). Isso significa que a pressão sob o êmbolo de entrada é igual à pressão sob o êmbolo de saída.
  • Pressão é definida por \displaystyle p=\frac{F}{A}, onde:
    • p é a pressão (em \text{N/m}^2 ou \text{Pa}),
    • F é a força normal sobre a área (em \text{N}),
    • A é a área sobre a qual a força age (em \text{m}^2).
  • Para êmbolos circulares a área é \displaystyle A=\pi r^{2}, onde r é o raio do êmbolo.
  • Igualando pressões nos dois êmbolos: \frac{F_{\text{entrada}}}{A_{\text{menor}}}=\frac{F_{\text{saida}}}{A_{\text{maior}}}.Portanto, F_{\text{saida}}=F_{\text{entrada}}\cdot\frac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}}.

Passo 3

Calcular a razão entre as áreas usando a fórmula da área do círculo. Primeiro escrevo as áreas em função dos raios:
A_{\text{menor}}=\pi r_{\text{menor}}^{2}, \qquad A_{\text{maior}}=\pi r_{\text{maior}}^{2}.
A razão entre as áreas é
\frac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}}=\frac{\pi r_{\text{maior}}^{2}}{\pi r_{\text{menor}}^{2}}=\left(\frac{r_{\text{maior}}}{r_{\text{menor}}}\right)^{2}.
Observe que o fator \pi cancela — então não é necessário calcular as áreas numericamente, só a razão dos raios.

Passo 4

Aplicando os valores dados para os raios:
\frac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}}=\left(\frac{25\\ \text{cm}}{5\\ \text{cm}}\right)^{2}=\left(5\right)^{2}=25.
Portanto a razão entre as áreas é \,25.

Passo 5

Agora calculo a força de saída usando a relação de pressões (Passo 2):
F_{\text{saida}}=F_{\text{entrada}}\cdot\frac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}}.
Substituo F_{\text{entrada}}=100\\ \text{N} e a razão das áreas =25:
F_{\text{saida}}=100\\ \text{N}\times25=2500\\ \text{N}.
Observação prática: não foi preciso converter centímetros para metros, porque a razão dos raios é adimensional (as unidades cancelam). Se fosse necessário calcular pressões ou áreas absolutas, então converter para o SI (metros) seria importante.

Passo 6

Pequena recapitulação para a prova (dica amiga): quando tiver êmbolos circulares, sempre pense que a área escala com o quadrado do raio; a vantagem mecânica da prensa hidráulica é exatamente essa razão de áreas que multiplica a força aplicada. Respira fundo — você já tem a resposta e o raciocínio que o professor costuma cobrar.

Resposta

\dfrac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}}=25
F_{\text{saida}}=2500\\ \text{N}

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