Um barco de salvamento de 200 kg tem um volume submerso de
ao flutuar em um lago de água doce (
). Considerando
:
a) Determine o empuxo que a água exerce sobre o barco (Dica: analise o equilibrio de forças).
b) Se uma pessoa de
subir no barco, qual será o novo volume submerso do barco para que ele continue em equilibrio?
a) Determine o empuxo que a água exerce sobre o barco (Dica: analise o equilibrio de forças).
b) Se uma pessoa de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Massa do barco:
. - Volume submerso do barco (quando flutua):
. - Densidade da água doce:
. - Aceleração da gravidade:
.
O enunciado pede:
(a) determinar o empuxo que a água exerce sobre o barco;
(b) se uma pessoa desubir no barco, qual será o novo volume submerso do barco para que ele continue em equilíbrio?
Passo 2
Conceitos e formulas que vamos usar (com explicação didática):
- Princípio de Arquimedes: o empuxo
é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmula:
onde
é a densidade do fluido,
é o volume de fluido deslocado (ou volume submerso) e
é a aceleração da gravidade.
- Equilíbrio de forças para um corpo que flutua sem aceleração vertical: a soma das forças verticais é zero, ou seja, o empuxo para cima iguala o peso total para baixo. Se não houver outras forças verticais além do peso, então:
onde
é a massa total do sistema (barco sozinho ou barco + pessoa).
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Calcular o empuxo pelo equilíbrio (método direto usando o peso do barco):
Se o barco flutua em equilíbrio e não há outras forças verticais além do seu peso, então o empuxo é igual ao peso do barco:
Se o barco flutua em equilíbrio e não há outras forças verticais além do seu peso, então o empuxo é igual ao peso do barco:
Substituindo
e
:
Comentário didático: aqui o peso é a força para baixo
. No equilíbrio vertical, o empuxo para cima compensa exatamente essa força para baixo.
Passo 4
Calcular o empuxo pela fórmula de Arquimedes usando o volume submerso fornecido (checar consistência):
Aplicando diretamente
Aplicando diretamente
com
,
e
:
Observação didática importante: obtivemos
por Arquimedes, mas pelo equilíbrio (Passo 3) tínhamos
. Isso é uma discrepância — as duas formas deveriam dar o mesmo valor se todas as informações forem consistentes.
Passo 5
Reconciliação da discrepância (explicação física simples):
- Se realmente o barco flutua com volume submerso
, então Arquimedes diz que o empuxo é . Para que o barco esteja em equilíbrio com esse empuxo, teria de haver uma força adicional para baixo de (por exemplo, carga extra, equipamento, um cabo puxando para baixo, etc.), pois o peso do barco sozinho é apenas . - Se não existe nenhuma força extra além do peso do barco, então a condição de equilíbrio implica que o volume submerso correto deveria ser
pois então
.
Como o enunciado sugere analisar o equilíbrio de forças, a forma padrão de responder (assumindo que não há forças adicionais além do peso) é usar como empuxo. Vou seguir essa interpretação para as respostas finais, e na parte (b) vou supor que não há outras forças além do peso das massas.
Como o enunciado sugere analisar o equilíbrio de forças, a forma padrão de responder (assumindo que não há forças adicionais além do peso) é usar
Passo 6
Agora a parte (b): calcular o novo volume submerso quando uma pessoa de
sobe no barco (procedimento e explicação):
- Massa total com a pessoa:
onde
é a massa da pessoa.
- Em equilíbrio, o empuxo deve igualar o peso total:
Cancelando
dos dois lados (isso é legal porque
), obtemos a expressão simples:
Substituindo os valores:
Explicação prática: acrescentar massa faz o barco deslocar mais água para gerar empuxo adicional; a nova altura de imersão (ou volume submerso) aumenta proporcionalmente à massa acrescentada.
Resposta
a)
b)
b)