Um barco de salvamento de 200 kg tem um volume submerso de 0,25 \mathrm{~m}^{3} ao flutuar em um lago de água doce ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). Considerando g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} :
a) Determine o empuxo que a água exerce sobre o barco (Dica: analise o equilibrio de forças).
b) Se uma pessoa de \mathbf{8 0 ~ k g} subir no barco, qual será o novo volume submerso do barco para que ele continue em equilibrio?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Massa do barco: m_{\rm b}=200\\ \mathrm{kg}.
  • Volume submerso do barco (quando flutua): V_{\rm sub}=0,25\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Densidade da água doce: \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
    O enunciado pede:
    (a) determinar o empuxo que a água exerce sobre o barco;
    (b) se uma pessoa de 80\\ \mathrm{kg} subir no barco, qual será o novo volume submerso do barco para que ele continue em equilíbrio?

Passo 2

Conceitos e formulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Princípio de Arquimedes: o empuxo \,E é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmula:
E=\rho\,V_{\text{deslocado}}\,g,
onde \rho é a densidade do fluido, V_{\text{deslocado}} é o volume de fluido deslocado (ou volume submerso) e g é a aceleração da gravidade.
  • Equilíbrio de forças para um corpo que flutua sem aceleração vertical: a soma das forças verticais é zero, ou seja, o empuxo para cima iguala o peso total para baixo. Se não houver outras forças verticais além do peso, então:
E = \text{peso total} = M_{\text{total}}\,g,
onde M_{\text{total}} é a massa total do sistema (barco sozinho ou barco + pessoa).
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Calcular o empuxo pelo equilíbrio (método direto usando o peso do barco):
Se o barco flutua em equilíbrio e não há outras forças verticais além do seu peso, então o empuxo é igual ao peso do barco:
E = m_{\rm b}\,g.
Substituindo m_{\rm b}=200\\ \mathrm{kg} e g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}:
E = 200\cdot 10 = 2000\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: aqui o peso é a força para baixo \,m g. No equilíbrio vertical, o empuxo para cima compensa exatamente essa força para baixo.

Passo 4

Calcular o empuxo pela fórmula de Arquimedes usando o volume submerso fornecido (checar consistência):
Aplicando diretamente
E=\rho\,V_{\rm sub}\,g,
com \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, V_{\rm sub}=0,25\\ \mathrm{m}^{3} e g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}:
E=1000\cdot 0,25\cdot 10 = 2500\\ \mathrm{N}.
Observação didática importante: obtivemos E=2500\\ \mathrm{N} por Arquimedes, mas pelo equilíbrio (Passo 3) tínhamos E=2000\\ \mathrm{N}. Isso é uma discrepância — as duas formas deveriam dar o mesmo valor se todas as informações forem consistentes.

Passo 5

Reconciliação da discrepância (explicação física simples):
  • Se realmente o barco flutua com volume submerso V_{\rm sub}=0,25\\ \mathrm{m}^{3}, então Arquimedes diz que o empuxo é 2500\\ \mathrm{N}. Para que o barco esteja em equilíbrio com esse empuxo, teria de haver uma força adicional para baixo de 500\\ \mathrm{N} (por exemplo, carga extra, equipamento, um cabo puxando para baixo, etc.), pois o peso do barco sozinho é apenas 2000\\ \mathrm{N}.
  • Se não existe nenhuma força extra além do peso do barco, então a condição de equilíbrio implica que o volume submerso correto deveria ser
V_{\rm sub,\,correto}=\frac{m_{\rm b}}{\rho}=\frac{200}{1000}=0,20\\ \mathrm{m}^{3},
pois então E=\rho V g = 1000\cdot 0,20\cdot 10 = 2000\\ \mathrm{N}.
Como o enunciado sugere analisar o equilíbrio de forças, a forma padrão de responder (assumindo que não há forças adicionais além do peso) é usar E=m_{\rm b}g como empuxo. Vou seguir essa interpretação para as respostas finais, e na parte (b) vou supor que não há outras forças além do peso das massas.

Passo 6

Agora a parte (b): calcular o novo volume submerso quando uma pessoa de 80\\ \mathrm{kg} sobe no barco (procedimento e explicação):
  • Massa total com a pessoa:
M_{\text{total}} = m_{\rm b} + m_{\rm p} = 200 + 80 = 280\\ \mathrm{kg},
onde m_{\rm p}=80\\ \mathrm{kg} é a massa da pessoa.
  • Em equilíbrio, o empuxo deve igualar o peso total:
\rho\,V' \,g = M_{\text{total}}\,g.
Cancelando g dos dois lados (isso é legal porque g\neq 0), obtemos a expressão simples:
V' = \frac{M_{\text{total}}}{\rho}.
Substituindo os valores:
V' = \frac{280}{1000} = 0,28\\ \mathrm{m}^{3}.
Explicação prática: acrescentar massa faz o barco deslocar mais água para gerar empuxo adicional; a nova altura de imersão (ou volume submerso) aumenta proporcionalmente à massa acrescentada.

Resposta

a) E=2000\\ \mathrm{N}
b) V'=0,28\\ \mathrm{m}^{3}

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