A água escoa em regime permanente em uma tubulação com \varepsilon=0,1 \mathrm{~mm} \mathrm{e} diâmetro de 100 mm , de modo que o número de Reynolds vale 1,7 \times 10^{5}. Determine a velocidade de atrito e o fator de atrito e classifique o escoamento. Viscosidade da água \mathrm{u}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • rugosidade absoluta: \varepsilon=0,1\\ \mathrm{mm}.
  • diâmetro da tubulação: D=100\\ \mathrm{mm}.
  • número de Reynolds: \mathrm{Re}=1{,}7\times10^{5}.
  • viscosidade cinemática da água: \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a velocidade de atrito u_{*}.
  2. Determinar o fator de atrito f (fator de atrito de Darcy-Weisbach).
  3. Classificar o escoamento (laminar/turbulento e se é hidraulicamente liso, transicional ou rugoso).

Passo 2

Converto as unidades para o sistema internacional e calculo a rugosidade relativa \varepsilon/D.
\varepsilon = 0{,}1\\ \mathrm{mm} = 0{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}, \qquad D = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}1\\ \mathrm{m}.
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{1{,}0\times10^{-4}}{0{,}1} = 1{,}0\times10^{-3}.

Passo 3

Calculo a velocidade média U a partir do número de Reynolds. A definição do número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu},
onde U é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática. Isolando U:
U=\frac{\mathrm{Re}\,\nu}{D}.
Substituindo os valores dados (peguei \mathrm{Re} e \nu do enunciado e D do passo anterior):
U=\frac{1{,}7\times10^{5}\times 10^{-6}}{0{,}1}= \frac{0{,}17}{0{,}1}=1{,}7\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade média é U=1{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Escolho um método prático para obter o fator de atrito f. Para escoamento turbulento em tubos rugosos, o fator de atrito Darcy-Weisbach satisfaz implicitamente a equação de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right),
que exige iteração. Para calcular de modo direto e razoavelmente preciso sem iterar, uso a aproximação explícita de Swamee–Jain:
f=0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Explico rapidamente: a fórmula de Swamee–Jain é uma aproximação prática da Colebrook, muito usada em problemas de prova quando se quer um valor numérico sem iteração.
Agora calculo os termos numéricos (usei \varepsilon/D do Passo 2 e \mathrm{Re} do enunciado):
\mathrm{Re}^{0{,}9}=(1{,}7\times10^{5})^{0{,}9}\approx 5{,}10\times10^{4}.
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{3{,}7}\approx 2{,}7027\times10^{-4}, \qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{5{,}10\times10^{4}}\approx1{,}13\times10^{-4}.
Somando:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 3{,}83\times10^{-4}.
Tomando logaritmo e aplicando a fórmula:
\log_{10}(3{,}83\times10^{-4})\approx -3{,}417,
f=0{,}25\left[-3{,}417\right]^{-2}=0{,}25\div(3{,}417^{2})\approx0{,}0214.
Portanto o fator de atrito de Darcy é f\approx0{,}0214.

Passo 5

Agora calculo a velocidade de atrito u_{*}. A velocidade de atrito é definida por
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}},
onde \tau_{w} é a tensão de cisalhamento na parede. A relação entre \tau_{w} e o fator de atrito Darcy é
\tau_{w}=\frac{f\,\rho\,U^{2}}{8}.
Substituindo em u_{*} cancela a densidade \rho e obtemos a relação prática
u_{*}=U\sqrt{\frac{f}{8}}.
Usando U=1{,}7\\ \mathrm{m/s} (Passo 3) e f=0{,}0214 (Passo 4):
u_{*}=1{,}7\sqrt{\frac{0{,}0214}{8}}=1{,}7\sqrt{0{,}002675}\approx1{,}7\times0{,}05174\approx0{,}0880\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade de atrito é u_{*}\approx0{,}088\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Classificação do escoamento em dois sentidos:
  1. Quanto ao regime laminar/turbulento: o critério clássico é
\text{laminar se }\mathrm{Re}<2300,\qquad\text{transição se }2300\lesssim\mathrm{Re}\lesssim4000,\qquad\text{turbulento se }\mathrm{Re}>4000.çã
Aqui \mathrm{Re}=1{,}7\times10^{5}\gg4000, logo o escoamento é turbulento.
  1. Quanto ao efeito da rugosidade (hidraulicamente liso / transicional / totalmente rugoso): usa-se o número adimensional
k^{+}=\frac{u_{*}\, \varepsilon}{\nu}.
  • Se k^{+}\lesssim5 diz-se hidraulicamente liso.
  • Se k^{+}\gtrsim70 diz-se totalmente rugoso.
  • Entre esses valores está a região de transição (rugosidade influente mas não totalmente dominante).
Calculo k^{+} com u_{*}=0{,}088\\ \mathrm{m/s}, \varepsilon=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}:
k^{+}=\frac{0{,}088\times 1{,}0\times10^{-4}}{10^{-6}}=8{,}8.
Como 5<k^{+}<70, a rugosidade está na faixa de transição: a superfície é rugosa o suficiente para influenciar o escoamento, mas não está no regime totalmente rugoso. Conclusão: escoamento turbulento e hidraulicamente em região de transição (ligeiramente rugoso).

Resposta

u_{*}\approx0{,}088\\ \mathrm{m/s}
f\approx0{,}0214
Escoamento: turbulento; hidraulicamente em transição (rugosidade influente, k^{+}\approx8{,}8).

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