Água escoa por um tubo ascendentemente. Ao chegar no topo do tubo, transborda e passa a escoar no exterior do tubo formando um filme ao redor dele. Desprezando os efeitos de bordas, determine:
a. O perfil de velocidade no interior do tubo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre água que está escoando para cima dentro de um tubo. Quando chega ao topo, ela transborda e forma um filme ao redor do tubo. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade da água se comporta dentro do tubo, ou seja, o perfil de velocidade no interior dele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre o escoamento laminar em tubos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, dentro do tubo, a água está se movendo de forma ordenada, sem turbulências, ou seja, em um escoamento laminar. Nesse tipo de escoamento, a velocidade da água não é a mesma em todos os pontos do tubo. Na verdade, a velocidade varia dependendo da posição radial, ou seja, de quão longe do centro do tubo estamos.

Passo 3

Para encontrar o perfil de velocidade, usamos a Lei de Poiseuille, que descreve como a velocidade do fluido varia no interior de um tubo. A fórmula é:
v(r) = vmax (1 - (rR)^2)
Aqui:
  • $ v® $ é a velocidade da água em um ponto a uma distância $ r $ do centro do tubo.
  • $ v_{max} $ é a velocidade máxima no centro do tubo.
  • $ R $ é o raio do tubo.

Passo 4

Essa equação nos mostra que a velocidade é máxima no centro ($ r = 0 r = 0 à r = R $). Isso acontece porque a viscosidade da água interage com a parede do tubo, dificultando o movimento próximo a ela.

Passo 5

Então, para determinar o perfil de velocidade completo, precisamos expressar $ v_{max} $ em termos das condições do escoamento, como a taxa de fluxo e as propriedades do fluido. Mas, como a questão pede apenas o perfil de velocidade, já temos a forma funcional que relaciona $ v® $ com $ r $.

Resposta

O perfil de velocidade no interior do tubo é dado por:
v(r) = vmax (1 - (rR)^2)
Onde $ v® $ é a velocidade em uma distância $ r $ do centro, $ v_{max} $ é a velocidade máxima no centro do tubo, e $ R $ é o raio do tubo.

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