A componente y da velocidade em um campo de escoamento permanente e incompressível no plano xy é v=A=y^2 / x^2, onde a=2 m / s e x é medido em metros. Determine a mais simples componente x da velocidade para este campo de escoamento. (Resp. u=2 Ay / x )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um campo de escoamento permanente e incompressível no plano xy. A gente já sabe a componente y da velocidade, que é $ v = \frac{A y2}{x2} $, onde $ A = 2 , m/s $ e $ x $ está em metros. Nosso objetivo é encontrar a componente x da velocidade, ou seja, $ u $.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades de escoamento incompressível e as equações básicas da mecânica dos fluidos. Não se preocupa se isso parecer complexo agora, vou explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento ser incompressível. Isso quer dizer que a densidade do fluido não muda à medida que ele flui. Em termos matemáticos, para um escoamento bidimensional no plano xy, a condição de incompressibilidade é dada pela seguinte equação:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Essa equação basicamente diz que a variação da velocidade na direção x mais a variação na direção y deve ser igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos usar essa condição de incompressibilidade para encontrar $ u $. Sabemos que $ v = \frac{A y2}{x2} $. Vamos primeiro calcular a derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $:
u
Substituindo na equação de incompressibilidade:
v = A y^2x^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar $ u $ tal que sua derivada em relação a $ x $ satisfaça essa equação. Basicamente, queremos que:
u
Para encontrar $ u $, vamos integrar essa expressão em relação a $ x $:
x
Onde $ C(y) $ é uma função de integração que depende apenas de $ y $.

Passo 5

Para determinar $ C(y) $, precisamos considerar que, em um escoamento incompressível, as velocidades devem ser finitas e não devem crescer sem limites. Portanto, a solução mais simples é tomar $ C(y) = 0 $.
Assim, a componente x da velocidade fica:
C(y)

Resposta

A componente x da velocidade para esse campo de escoamento é:
u = 2A yx

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