Questão 1 (2,0 pontos)
I. O método da capacitância global não pode ser aplicado quando existe um fluxo de calor radiativo.
II. No método da capacitância global a temperatura do centro é diferente da temperatura da superfície.
III. A solução da equação da difusão de calor pelo método espacial não pode ser usada para o número de Biot menor que 0,1.
a. I e II verdadeiras.
b. I e III verdadeiras.
c. I verdadeira.
d. I, II e III verdadeiras.
e. NRA.
II. No método da capacitância global a temperatura do centro é diferente da temperatura da superfície.
III. A solução da equação da difusão de calor pelo método espacial não pode ser usada para o número de Biot menor que 0,1.
a. I e II verdadeiras.
b. I e III verdadeiras.
c. I verdadeira.
d. I, II e III verdadeiras.
e. NRA.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- O enunciado apresenta três afirmações sobre o método da capacitância global (lumped-capacitance) e pede para escolher qual alternativa (a–e) traz as afirmações verdadeiras.
- As afirmações são:
I. O método da capacitância global não pode ser aplicado quando existe um fluxo de calor radiativo.
II. No método da capacitância global a temperatura do centro é diferente da temperatura da superfície.
III. A solução da equação da difusão de calor pelo método espacial não pode ser usada para o número de Biot menor que 0,1.
O objetivo: decidir quais das afirmações I, II, III são verdadeiras e marcar a alternativa correta.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vou usar (vou explicar devagar e com cuidado).
- Definição do número de Biot:
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor na superfície (unidade: ), -
é o comprimento característico do corpo (por exemplo, para uma esfera , ou para uma placa de espessura , normalmente ), -
é a condutividade térmica do material (unidade: ). -
Interpretação física do número de Biot:
-
compara a resistência térmica interna por condução com a resistência térmica externa por convecção. Se , a resistência interna é muito menor do que a externa e, portanto, as variações de temperatura dentro do corpo são pequenas — a temperatura pode ser assumida praticamente uniforme no volume.
-
-
Critério usual de validade do método da capacitância global (lumped-capacitance):
- Regra prática: o método é aceitável quando
. Nesse caso pode-se assumir (não há variação espacial significativa), então a equação de balanço energético se reduz a uma ODE:
- Regra prática: o método é aceitável quando
onde
densidade,
volume,
calor específico,
área exposta e
temperatura do fluido.
Vou usar esses conceitos para analisar cada afirmação.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “No método da capacitância global a temperatura do centro é diferente da temperatura da superfície.”
- Pelo próprio pressuposto do método da capacitância global temos que a temperatura é praticamente uniforme dentro do corpo:
para todo o interior. Isso implica que a temperatura do centro e da superfície são (praticamente) iguais: . - Portanto a afirmação II é falsa.
Explicação extra em palavras: a ideia do método lumped é justamente evitar tratar variação espacial; se a temperatura do centro fosse diferente da superfície não poderia usar o modelo lumped.
Passo 4
Analisando a afirmação I: “O método da capacitância global não pode ser aplicado quando existe um fluxo de calor radiativo.”
- O método da capacitância global não proíbe a existência de radiação. O que importa é se há ou não gradientes internos grandes (avaliado pelo número de Biot). A radiação é apenas mais uma forma de troca de calor na superfície.
- A troca radiativa superficial é dada por:
onde
é emis emissividade e
a constante de Stefan–Boltzmann. Para aplicar o método lumped é comum linearizar essa expressão em torno de uma temperatura média
e definir um coeficiente radiativo efetivo:
- Então pode-se definir um coeficiente global de transferência de calor na superfície:
e usar
no número de Biot:
- Se com esse
o resultante for , o método lumped continua válido mesmo havendo radiação. Se for grande e ultrapassar o limite, então o lumped não é válido — mas isso depende dos valores, não é uma proibição absoluta. - Conclusão: a afirmação I é falsa. A presença de radiação não impede em princípio o uso do método; ela apenas altera
e, consequentemente, o valor do .
Passo 5
Analisando a afirmação III: “A solução da equação da difusão de calor pelo método espacial não pode ser usada para o número de Biot menor que 0,1.”
- A “solução espacial” (isto é, a solução completa da equação de difusão/transiente com dependência espacial — obtida por separação de variáveis, séries de autovalores, etc.) é a solução rigorosa do problema de condução transiente e é válida para qualquer valor de
. Não há nenhum impedimento matemático ou físico que proíba usar essa solução quando . - Na verdade, quando
é muito pequeno, a solução espacial convergirá para um comportamento em que os modos espaciais são insignificantes e a resposta temporal é bem aproximada pela solução lumped (a série espacial fica rapidamente dominada pelo modo de ordem zero, ou o comportamento uniforme). Ou seja: a solução espacial inclui o caso como um caso especial. - Portanto a afirmação III é falsa.
Passo 6
Resumo final das verdadeiras/falsas:
- I — falsa (radiação não impede, basta incluir
e checar ). - II — falsa (no lumped a temperatura é uniforme; centro = superfície).
- III — falsa (a solução espacial é válida para qualquer
; para ela reduz-se ao caso lumped).
Logo nenhuma das três afirmações é verdadeira. A alternativa que corresponde a isso é a alternativa (e): NRA (nenhuma das anteriores).
Resposta
e