Questão 1 (2,0 pontos)

I. O método da capacitância global não pode ser aplicado quando existe um fluxo de calor radiativo.
II. No método da capacitância global a temperatura do centro é diferente da temperatura da superfície.
III. A solução da equação da difusão de calor pelo método espacial não pode ser usada para o número de Biot menor que 0,1.
a. I e II verdadeiras.
b. I e III verdadeiras.
c. I verdadeira.
d. I, II e III verdadeiras.
e. NRA.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • O enunciado apresenta três afirmações sobre o método da capacitância global (lumped-capacitance) e pede para escolher qual alternativa (a–e) traz as afirmações verdadeiras.
  • As afirmações são:
    I. O método da capacitância global não pode ser aplicado quando existe um fluxo de calor radiativo.
    II. No método da capacitância global a temperatura do centro é diferente da temperatura da superfície.
    III. A solução da equação da difusão de calor pelo método espacial não pode ser usada para o número de Biot menor que 0,1.
O objetivo: decidir quais das afirmações I, II, III são verdadeiras e marcar a alternativa correta.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (vou explicar devagar e com cuidado).
  • Definição do número de Biot:
\mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k},
onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor na superfície (unidade: \mathrm{W/(m^2\cdot K)}),
  • L_c é o comprimento característico do corpo (por exemplo, para uma esfera L_c = V/A, ou para uma placa de espessura 2L, normalmente L_c=L),
  • k é a condutividade térmica do material (unidade: \mathrm{W/(m\cdot K)}).
  • Interpretação física do número de Biot:
    • \mathrm{Bi} compara a resistência térmica interna por condução com a resistência térmica externa por convecção. Se \mathrm{Bi} \ll 1, a resistência interna é muito menor do que a externa e, portanto, as variações de temperatura dentro do corpo são pequenas — a temperatura pode ser assumida praticamente uniforme no volume.
  • Critério usual de validade do método da capacitância global (lumped-capacitance):
    • Regra prática: o método é aceitável quando \mathrm{Bi} \le 0{,}1. Nesse caso pode-se assumir T(\mathbf{x},t)\approx T(t) (não há variação espacial significativa), então a equação de balanço energético se reduz a uma ODE:
\rho V c \,\frac{dT}{dt} = -h A \bigl(T(t)-T_\infty\bigr),
onde \rho densidade, V volume, c calor específico, A área exposta e T_\infty temperatura do fluido.
Vou usar esses conceitos para analisar cada afirmação.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “No método da capacitância global a temperatura do centro é diferente da temperatura da superfície.”
  • Pelo próprio pressuposto do método da capacitância global temos que a temperatura é praticamente uniforme dentro do corpo: \;T(\mathbf{x},t)\approx T(t)\; para todo o interior. Isso implica que a temperatura do centro e da superfície são (praticamente) iguais: T_{\text{centro}}(t)=T_{\text{superf}}(t).
  • Portanto a afirmação II é falsa.
Explicação extra em palavras: a ideia do método lumped é justamente evitar tratar variação espacial; se a temperatura do centro fosse diferente da superfície não poderia usar o modelo lumped.

Passo 4

Analisando a afirmação I: “O método da capacitância global não pode ser aplicado quando existe um fluxo de calor radiativo.”
  • O método da capacitância global não proíbe a existência de radiação. O que importa é se há ou não gradientes internos grandes (avaliado pelo número de Biot). A radiação é apenas mais uma forma de troca de calor na superfície.
  • A troca radiativa superficial é dada por:
\dot q_{\text{rad}} = \varepsilon \sigma \bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr),
onde \varepsilon é emis emissividade e \sigma a constante de Stefan–Boltzmann. Para aplicar o método lumped é comum linearizar essa expressão em torno de uma temperatura média T_m e definir um coeficiente radiativo efetivo:
h_{\text{rad}}\approx 4\,\varepsilon\sigma T_m^3.
  • Então pode-se definir um coeficiente global de transferência de calor na superfície:
h_{\text{eq}} = h_{\text{conv}} + h_{\text{rad}},
e usar h_{\text{eq}} no número de Biot:
\mathrm{Bi} = \frac{h_{\text{eq}}\,L_c}{k}.
  • Se com esse h_{\text{eq}} o \mathrm{Bi} resultante for \le 0{,}1, o método lumped continua válido mesmo havendo radiação. Se h_{\text{eq}} for grande e \mathrm{Bi} ultrapassar o limite, então o lumped não é válido — mas isso depende dos valores, não é uma proibição absoluta.
  • Conclusão: a afirmação I é falsa. A presença de radiação não impede em princípio o uso do método; ela apenas altera h e, consequentemente, o valor do \mathrm{Bi}.

Passo 5

Analisando a afirmação III: “A solução da equação da difusão de calor pelo método espacial não pode ser usada para o número de Biot menor que 0,1.”
  • A “solução espacial” (isto é, a solução completa da equação de difusão/transiente com dependência espacial — obtida por separação de variáveis, séries de autovalores, etc.) é a solução rigorosa do problema de condução transiente e é válida para qualquer valor de \mathrm{Bi}. Não há nenhum impedimento matemático ou físico que proíba usar essa solução quando \mathrm{Bi}<0{,}1.
  • Na verdade, quando \mathrm{Bi} é muito pequeno, a solução espacial convergirá para um comportamento em que os modos espaciais são insignificantes e a resposta temporal é bem aproximada pela solução lumped (a série espacial fica rapidamente dominada pelo modo de ordem zero, ou o comportamento uniforme). Ou seja: a solução espacial inclui o caso \mathrm{Bi}<0{,}1 como um caso especial.
  • Portanto a afirmação III é falsa.

Passo 6

Resumo final das verdadeiras/falsas:
  • I — falsa (radiação não impede, basta incluir h_{\text{rad}} e checar \mathrm{Bi}).
  • II — falsa (no lumped a temperatura é uniforme; centro = superfície).
  • III — falsa (a solução espacial é válida para qualquer \mathrm{Bi}; para \mathrm{Bi}\ll1 ela reduz-se ao caso lumped).
Logo nenhuma das três afirmações é verdadeira. A alternativa que corresponde a isso é a alternativa (e): NRA (nenhuma das anteriores).

Resposta

e

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