(3,0 pontos) Um engenheiro foi contratado para supervisionar um processo industrial que utiliza convecção forçada para resfriar esferas de 10 g de aço inox
.
Calcule, considerando que a temperatura inicial é de 1600 K e a temperatura ambiente é 300 K:
a. A constante de tempo.
b. A expressão (algébrica) para
.
c. O tempo para a temperatura da esfera atingir 350 K .
a. A constante de tempo.
b. A expressão (algébrica) para
c. O tempo para a temperatura da esfera atingir 350 K .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- massa da esfera:
(10 g). - condutividade térmica do aço inox:
. - densidade do aço inox:
. - coeficiente de convecção:
(o enunciado relacionou com ; vou usar essa relação explicitamente). - temperatura inicial da esfera:
. - temperatura ambiente:
. - pede-se:
(a) a constante de tempo;
(b) a expressão algébrica para;
(c) o tempo para a esfera atingir.
Observação prática (não faço suposições extras exceto a relação dada para
): falta no enunciado o calor específico
do aço inox; como é um dado físico padrão, vou usar um valor típico para aço inox à temperatura elevada:
. Vou explicar e justificar isso ao longo da resolução.
Passo 2
Calcular as dimensões da esfera (preciso do raio para a área superficial).
Fórmulas usadas:
Cálculos:
(Expliquei cada fórmula:
vem de
; o volume da esfera é
; a área é
.)
Passo 3
Determinar o coeficiente de convecção
a partir da relação dada
.
Passo 4
Verificar a validade do modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance), que dá a solução exponencial simples. Critério: número de Biot
onde
(comprimento característico) para esfera vale
.
Cálculo:
Como
, a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme durante o resfriamento e o modelo lumped é válido. Isso nos autoriza a usar a equação exponencial simples e a constante de tempo do sistema.
Passo 5
Derivar a expressão para a constante de tempo
.
Balanço de energia (modelo lumped): a taxa de variação da energia térmica interna da esfera é igual ao fluxo convectivo na superfície:
Isto é uma EDO linear de primeira ordem. Colocando na forma padrão:
Define-se a constante de tempo
(ou, para esfera usando
e
,
.)
Passo 6
Calcular numericamente a constante de tempo
usando
.
Converter para minutos:
(Comentário de didática:
indica o tempo característico em que a diferença de temperatura decai por um fator
. Após
a diferença
terá caído para
do valor inicial.)
Passo 7
Obter a expressão algébrica para
(solução da EDO).
Resolvendo a EDO do Passo 5, com condição inicial
, obtemos:
Expliquei a origem: é solução da EDO linear de primeira ordem com decaimento exponencial.
Passo 8
Calcular o tempo para a esfera atingir
.
Usar a solução:
Tomando logaritmo:
Usando
:
Converter para minutos:
(Interpretação prática: leva cerca de 49 minutos para a esfera esfriar de
para
nas condições dadas.)
Passo 9
Observação sobre o valor de
: se outro valor típico fosse usado (por exemplo
), os tempos seriam um pouco menores (aprox.
para
e
para atingir
). Portanto a resposta tem alguma sensibilidade ao valor adotado de
, mas os passos e fórmulas apresentados mostram exatamente como recalcular se for fornecido outro
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)