(3,0 pontos) Um engenheiro foi contratado para supervisionar um processo industrial que utiliza convecção forçada para resfriar esferas de 10 g de aço inox (k=48,8 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, \rho= 7850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}). \mathrm{h}=0,2 \mathrm{k} Calcule, considerando que a temperatura inicial é de 1600 K e a temperatura ambiente é 300 K:
a. A constante de tempo.
b. A expressão (algébrica) para \mathrm{T}(\mathrm{t}).
c. O tempo para a temperatura da esfera atingir 350 K .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa da esfera: m=0,01\\ \mathrm{kg} (10 g).
  • condutividade térmica do aço inox: k=48{,}8\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • densidade do aço inox: \rho=7850\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • coeficiente de convecção: h=0{,}2\,k (o enunciado relacionou h com k; vou usar essa relação explicitamente).
  • temperatura inicial da esfera: T_i=1600\\ \mathrm{K}.
  • temperatura ambiente: T_\infty=300\\ \mathrm{K}.
  • pede-se:
    (a) a constante de tempo;
    (b) a expressão algébrica para T(t);
    (c) o tempo para a esfera atingir 350\\ \mathrm{K}.
Observação prática (não faço suposições extras exceto a relação dada para h): falta no enunciado o calor específico c do aço inox; como é um dado físico padrão, vou usar um valor típico para aço inox à temperatura elevada: c=500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Vou explicar e justificar isso ao longo da resolução.

Passo 2

Calcular as dimensões da esfera (preciso do raio para a área superficial).
Fórmulas usadas:
V=\frac{m}{\rho},\qquad V=\frac{4}{3}\pi r^{3},\qquad A=4\pi r^{2}.
Cálculos:
V=\frac{0{,}01}{7850}=1{,}2739\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
r=\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{3\cdot1{,}2739\times10^{-6}}{4\pi}\right)^{1/3}=6{,}737\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A=4\pi r^{2}=4\pi(6{,}737\times10^{-3})^{2}=5{,}709\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
(Expliquei cada fórmula: V vem de m=\rho V; o volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi r^3; a área é 4\pi r^2.)

Passo 3

Determinar o coeficiente de convecção h a partir da relação dada h=0{,}2\,k.
h=0{,}2\cdot48{,}8=9{,}76\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 4

Verificar a validade do modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance), que dá a solução exponencial simples. Critério: número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde L_c (comprimento característico) para esfera vale L_c=\dfrac{V}{A}=\dfrac{r}{3}.
Cálculo:
L_c=\frac{r}{3}=\frac{6{,}737\times10^{-3}}{3}=2{,}246\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{9{,}76\cdot2{,}246\times10^{-3}}{48{,}8}=4{,}49\times10^{-4}\ll0{,}1.
Como \mathrm{Bi}\ll0{,}1, a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme durante o resfriamento e o modelo lumped é válido. Isso nos autoriza a usar a equação exponencial simples e a constante de tempo do sistema.

Passo 5

Derivar a expressão para a constante de tempo \tau.
Balanço de energia (modelo lumped): a taxa de variação da energia térmica interna da esfera é igual ao fluxo convectivo na superfície:
m c \frac{dT}{dt} = -h A \bigl(T(t)-T_\infty\bigr).
Isto é uma EDO linear de primeira ordem. Colocando na forma padrão:
\frac{dT}{dt} = -\frac{h A}{m c}\bigl(T-T_\infty\bigr).
Define-se a constante de tempo
\tau=\frac{m c}{h A}.
(ou, para esfera usando m=\rho V e V/A=r/3, \tau=\dfrac{\rho c r}{3h}.)

Passo 6

Calcular numericamente a constante de tempo \tau usando c=500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
\tau=\frac{m c}{h A}=\frac{0{,}01\cdot500}{9{,}76\cdot5{,}709\times10^{-4}}=\frac{5}{0{,}005573}=897{,}2\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
\tau=897{,}2\\ \mathrm{s}=14{,}95\\ \mathrm{min}.
(Comentário de didática: \tau indica o tempo característico em que a diferença de temperatura decai por um fator e. Após t=\tau a diferença (T-T_\infty) terá caído para \approx37\% do valor inicial.)

Passo 7

Obter a expressão algébrica para T(t) (solução da EDO).
Resolvendo a EDO do Passo 5, com condição inicial T(0)=T_i, obtemos:
T(t)=T_\infty +\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\,e^{-t/\tau}.
Expliquei a origem: é solução da EDO linear de primeira ordem com decaimento exponencial.

Passo 8

Calcular o tempo para a esfera atingir T=350\\ \mathrm{K}.
Usar a solução:
350-300=(1600-300)\,e^{-t/\tau}.
50=1300\,e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=\frac{50}{1300}=\frac{1}{26}.
Tomando logaritmo:
t=-\tau\ln\!\left(\frac{1}{26}\right)=\tau\ln(26).
Usando \tau=897{,}2\\ \mathrm{s}:
t=897{,}2\cdot\ln(26)=897{,}2\cdot3{,}258=2924{,}5\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
t=2924{,}5\\ \mathrm{s}=48{,}74\\ \mathrm{min}.
(Interpretação prática: leva cerca de 49 minutos para a esfera esfriar de 1600\\ \mathrm{K} para 350\\ \mathrm{K} nas condições dadas.)

Passo 9

Observação sobre o valor de c: se outro valor típico fosse usado (por exemplo c=460\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}), os tempos seriam um pouco menores (aprox. 825\\ \mathrm{s} para \tau e 2689\\ \mathrm{s}\approx44{,}8\\ \mathrm{min} para atingir 350\\ \mathrm{K}). Portanto a resposta tem alguma sensibilidade ao valor adotado de c, mas os passos e fórmulas apresentados mostram exatamente como recalcular se for fornecido outro c.

Resposta

(a) \tau=897{,}2\\ \mathrm{s} \approx14{,}95\\ \mathrm{min}.\n
(b) T(t)=T_\infty+(T_i-T_\infty)\,e^{-t/\tau}=300+(1600-300)\,e^{-t/897{,}2}.\n
(c) t=\tau\ln\!{(26)}=2924{,}5\\ \mathrm{s}\approx48{,}74\\ \mathrm{min}.

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