2.9 Água escoa em uma tubulação de rugosidade relativa \varepsilon / \mathrm{D}=0,002 e Rey =
10^{5}. Quando a tubulação é trocada por outra, de mesmo material, com diâmetro igual a 2 / 3 do diâmetro original, a perda de carga unitária nas duas situações é a mesma. Determine a velocidade média na tubulação de menor diâmetro, em relação à velocidade média na tubulação original. Sugestão: use as Equações 2.21 e 2.26.
\left[\mathrm{V}_{2}=0,77 \mathrm{~V}_{1}\right]

Passo 1

O enunciado trata de escoamento turbulento em tubo rugoso, com perda de carga por unidade de comprimento dada pela fórmula de Darcy–Weisbach. A tubulação original tem rugosidade relativa \varepsilon/D_{1}=0{,}002 e número de Reynolds \mathrm{Re}_{1}=10^{5}. A tubulação nova, do mesmo material, tem diâmetro D_{2}=\tfrac{2}{3}D_{1} e queremos V_{2}/V_{1} tal que a perda de carga unitária seja igual em ambas. Para resolver usamos:
– Equação de Darcy–Weisbach para perda de carga por comprimento
\frac{h_f}{L} = f\,\frac{V^2}{2g\,D}
– Equação de Colebrook (2.21) para f implícita
– Fórmula explícita de Swamee–Jain (2.26):
f = \frac{0{,}25}{\Bigl[\log_{10}\bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\bigr)\Bigr]^2}.

Passo 2

Igualando as perdas de carga unitárias nas duas tubulações e escrevendo V_{2}=x\,V_{1} e D_{2}=\tfrac{2}{3}D_{1}, obtemos
f_{1}\,\frac{V_{1}^{2}}{D_{1}} \;=\; f_{2}\,\frac{V_{2}^{2}}{D_{2}} \;\Longrightarrow\; f_{1}\,\frac{1}{D_{1}} \;=\; f_{2}\,\frac{x^{2}}{\tfrac{2}{3}D_{1}} \;\Longrightarrow\; f_{2} = f_{1}\,\frac{\tfrac{2}{3}}{x^{2}}.

Passo 3

Calculamos primeiro f_{1} aplicando Swamee–Jain com \varepsilon/D_{1}=0{,}002 e \mathrm{Re}_{1}=10^{5}.
No argumento do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D_{1}} = \frac{0{,}002}{3{,}7}\approx5{,}405\times10^{-4}, \quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_{1}^{0{,}9}} =\frac{5{,}74}{(10^{5})^{0{,}9}} \approx1{,}815\times10^{-4}.
Logo
f_{1} = \frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}(5{,}405\times10^{-4}+1{,}815\times10^{-4})\bigr]^{2}} \approx0{,}0253.

Passo 4

Em seguida, para um chute inicial x, calculamos
\mathrm{Re}_{2} = \frac{V_{2}D_{2}}{\nu} = \frac{x\,V_{1}\,(2/3)D_{1}}{\nu} = \frac{2x}{3}\,\mathrm{Re}_{1}, \quad \frac{\varepsilon}{D_{2}} = \frac{\varepsilon/D_{1}}{2/3} =0{,}003,
e então
f_{2}(x) = \frac{0{,}25} {\Bigl[\log_{10}\bigl(0{,}003/3{,}7 + 5{,}74/\mathrm{Re}_{2}^{0{,}9}\bigr)\Bigr]^{2}}.
Igualamos esse f_{2}(x) a
f_{1}\,\frac{2/3}{x^{2}}
e ajustamos x por iteração até satisfazer a igualdade.

Passo 5

Fazendo a iteração numérica (por exemplo, método da falsa posição ou Newton simples) encontra-se
x = \frac{V_{2}}{V_{1}} \approx 0{,}77.

Resposta

V_{2} = 0{,}77\,V_{1}.

Exercícios relacionados