2.6 Em um ensaio de laboratório sobre perda de carga em um tubo de P.V.C. rígido de 2^{\prime \prime} de diâmetro, em que o número de Reynolds é 5 \cdot 10^{4}, qual o maior erro relativo que se comete, no cálculo do fator de atrito f , usando a fórmula de Swamee-Jain, com coeficiente de rugosidade \varepsilon=0,0015 \mathrm{~mm}, ou usando a fórmula de Blasius, em relação à equação teórica dos tubos lisos.
[Erro =1,15 \% ]

Passo 1

Vamos ao enunciado: temos um tubo de PVC rígido de diâmetro nominal 2'' submetido a escoamento turbulento com número de Reynolds \mathrm{Re}=5\cdot10^{4}. Queremos comparar dois estimadores do fator de atrito f:
– a fórmula explícita de Swamee–Jain levando em conta a rugosidade \varepsilon=0{,}0015\\ \mathrm{mm},
– a fórmula de Blasius válida para tubos (praticamente) lisos.
Em ambos os casos calculamos o erro relativo em relação ao fator de atrito “teórico” de tubo liso, dado pela equação empírica de Prandtl (caso especial de Colebrook para \varepsilon=0). O maior desses erros é a resposta.

Passo 2

Calculamos primeiro o fator de atrito pela fórmula de Swamee–Jain:
f_{SJ} = 0{,}25\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \tfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\bigr)\Bigr]^{-2}.
Convertendo unidades e valores: \varepsilon=0{,}0015\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-6}\,\mathrm{m}, D=2''=2\times0{,}0254\,\mathrm{m}=0{,}0508\,\mathrm{m}.
Logo
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} =\frac{1{,}5\times10^{-6}/0{,}0508}{3{,}7}\approx7{,}98\times10^{-6}, \quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}} =\frac{5{,}74}{(5\times10^{4})^{0,9}}\approx3{,}40\times10^{-4}.
Somando e tomando o logaritmo:
\log_{10}\bigl(7{,}98\times10^{-6}+3{,}40\times10^{-4}\bigr) \approx\log_{10}(3{,}48\times10^{-4})\approx-3{,}46,
portanto
f_{SJ}\approx0{,}25/(-3{,}46)^{2}\approx0{,}02088.

Passo 3

Agora o fator de atrito de Blasius, válido para escoamento turbulento em tubos quase lisos e \mathrm{Re}\lesssim10^{5}:
f_{B} = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0,25} =0{,}3164\,(5\times10^{4})^{-0,25} \approx0{,}02115.

Passo 4

Precisamos do valor “teórico” em tubo liso, que vem da equação de Colebrook para \varepsilon=0. Usamos a forma empírica de Prandtl:
\frac{1}{\sqrt{f_{0}}} = 2\,\log_{10}\bigl(\mathrm{Re}\,\sqrt{f_{0}}\bigr)\;-\;0{,}8.
Fazendo uma iteração rápida (ou tabelando), chega-se a
f_{0}\approx0{,}02091.

Passo 5

Calculamos agora os erros relativos percentuais em relação a f_{0}:
e_{SJ} =\biggl|\frac{f_{SJ}-f_{0}}{f_{0}}\biggr|\times100\% \approx\frac{|0{,}02088-0{,}02091|}{0{,}02091}\times100\%\approx0{,}13\%,
e_{B} =\biggl|\frac{f_{B}-f_{0}}{f_{0}}\biggr|\times100\% \approx\frac{|0{,}02115-0{,}02091|}{0{,}02091}\times100\%\approx1{,}15\%.
O maior erro é dado pela fórmula de Blasius.

Resposta

O maior erro relativo cometido é de 1,15\%.

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