Exercício 2: Deseja-se separar uma mistura de duas enzimas, lisozima e catalase, diluídas em uma solução aquosa, empregando-se membrana de filtração em gel. Uma membrana mesoporosa com poros cilíndricos de 30 nm (nanômetro) está disponível. O seguinte fator de separação ( \alpha ) para o processo empregando a membrana foi proposto:
\alpha=\frac{D_{A e f}}{D_{B e f}}
Determine o fator de separação desse processo levando em consideração a membrana, ou seja, com base nas difusividades efetivas e compare com o fator de separação sem a membrana, ou seja, com base nas difusividades moleculares. Discuta o resultado desta comparação.
As propriedades das enzimas são dadas a seguir:
Lisozima (espécie A) Catalase (espécie B)
\mathrm{M}_{\mathrm{A}}=14.100 \mathrm{~g} / \mathrm{gmol} \mathrm{M}_{\mathrm{B}}=250.000 \mathrm{~g} / \mathrm{gmol}
\mathrm{d}_{\mathrm{s}, \mathrm{A}}=4,12 \mathrm{~nm} (diâmetro molecular) \mathrm{d}_{\mathrm{s}, \mathrm{B}}=10,44 \mathrm{~nm} (diâmetro molecular)
D _{\text {A-mistura }}=1,04 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} D _{\text {B-mistura }}=4,10 \times 10^{-7} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede o fator de separação
\alpha = \frac{D_{A,\text{ef}}}{D_{B,\text{ef}}}
onde D_{i,\text{ef}} é a difusividade efetiva dentro da membrana com poros cilíndricos de diâmetro d_p=30,nm. Também devemos comparar esse \alpha com o valor sem membrana, ou seja
\alpha_{\text{bulk}} = \frac{D_{A,\text{bulk}}}{D_{B,\text{bulk}}}
Os dados fornecidos são: \;D_{A,\text{bulk}}=1{,}04\times10^{-6},cm ^2/s, \;D_{B,\text{bulk}}=4{,}10\times10^{-7},cm ^2/s, \;d_{s,A}=4{,}12,nm, \;d_{s,B}=10{,}44,nm.

Passo 2

Para estimar D_{i,\text{ef}} em poros cilíndricos usamos a equação de Renkin, que dá o fator de retardo K_i em função da razão
\lambda_i = \frac{d_{s,i}}{d_p}\,.
A expressão de Renkin é
K_i = \bigl(1-\lambda_i\bigr)^2\Bigl(1 - 2{,}1044\,\lambda_i + 2{,}089\,\lambda_i^3 - 0{,}948\,\lambda_i^5\Bigr),
e então
D_{i,\text{ef}} = K_i\,D_{i,\text{bulk}}.

Passo 3

Calculamos \lambda_A e \lambda_B:
\lambda_A = \frac{4{,}12}{30} = 0{,}1373, \quad \lambda_B = \frac{10{,}44}{30} = 0{,}348.

Passo 4

Aplicando Renkin para cada espécie:
Para a lisozima (A):
K_A = (1-0{,}1373)^2\bigl[1 - 2{,}1044(0{,}1373) + 2{,}089(0{,}1373)^3 - 0{,}948(0{,}1373)^5\bigr]\approx0{,}533.
Para a catalase (B):
K_B = (1-0{,}348)^2\bigl[1 - 2{,}1044(0{,}348) + 2{,}089(0{,}348)^3 - 0{,}948(0{,}348)^5\bigr]\approx0{,}149.

Passo 5

Agora as difusividades efetivas são
D_{A,\text{ef}} = 0{,}533\times1{,}04\times10^{-6} = 5{,}53\times10^{-7}\,\text{cm}^2/\text{s},
D_{B,\text{ef}} = 0{,}149\times4{,}10\times10^{-7} = 6{,}11\times10^{-8}\,\text{cm}^2/\text{s}.

Passo 6

Calculamos o fator de separação com membrana e sem membrana:
\alpha_{\text{membrana}} = \frac{D_{A,\text{ef}}}{D_{B,\text{ef}}} = \frac{5{,}53\times10^{-7}}{6{,}11\times10^{-8}} \approx 9{,}05,
\alpha_{\text{bulk}} = \frac{1{,}04\times10^{-6}}{4{,}10\times10^{-7}} \approx 2{,}54.

Passo 7

A comparação mostra que a membrana aumenta muito a seletividade em favor da lisozima: sem membrana \alpha\approx2{,}5, com membrana \alpha\approx9. Isso ocorre porque a catalase, maior, sofre muito mais restrição de difusão dentro dos poros.

Resposta

O fator de separação sem membrana é
\alpha_{\text{bulk}}\approx2{,}54,
e com membrana de poros de 30 nm é
\alpha_{\text{membrana}\,}\approx9{,}05.
A membrana amplia significativamente a seletividade, pois a difusão da molécula maior (catalase) é muito mais reduzida pelos efeitos de confinamento do que a da lisozima.

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