Água escoa com uma velocidade de 3 m / s a uma profundidade de 1,5 m em um canal trapezoidal com uma base de 2 m e inclinação dos lados em 45^circ. Ele é drenado em uma tubulação circular e escoa a 2 m / s. Qual é o diâmetro se:
(a) A tubulação escoa totalmente?
(b) A tubulação escoa pela metade?
© A água na tubulação escoa a uma profundidade de metade do raio?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem água correndo num canal trapezoidal a 3 m/s, profundidade de 1,5 m, base de 2 m e lados inclinados a 45°. Depois ela entra num cano circular onde vai a 2 m/s e a pergunta é: que diâmetro esse cano precisa ter se:
a) ele estiver totalmente cheio,
b) estiver pela metade cheio,
c) a água atingir só metade do raio no cano.
O conteúdo aqui é básico de Mecânica dos Fluidos: usar a equação da continuidade e saber calcular áreas de seções (trapezoidal e circular, total ou parcial).

Passo 2

Primeiro achamos a vazão A = (b + topo)2,y = 2 + 52times1,5 = 3,5times1,5 = 5,25 m^2 no canal trapezoidal.
  1. Área do trapézio: com profundidade Q = A , V = 5,25;m^2 times 3;m/s = 15,75;m^3/s m, base m e inclinação 45° significa que a projeção horizontal de cada lado é .
    • Largura do topo: m
    • Área:
  2. Vazão:

Passo 3

Caso (a): cano totalmente cheio.
  • Seção cheia: Q = Arm cano,V ;Longrightarrow;15,75 = pi D^24times2 = pi D^22.
  • Velocidade D^2 = 2cdot15,75pi, D = raiz31,5piapprox3,17;m m/s. Continuidade:
  • Então

Passo 4

Caso (b): cano meio cheio.
  • Seção útil é metade da seção total: Arm meio = 12;pi D^24 = pi D^28
  • Continuidade: 15,75 = Arm meio;2 = pi D^28,2 = pi D^24
  • Logo D^2 = 4cdot15,75pi, D = raiz63piapprox4,48;m

Passo 5

Caso ©: água atinge metade do raio, ou seja A = R^22l(theta - sinthetar),.
Aqui usamos a área de segmento circular:
  • Se costheta2 = 1 - hR é a altura do líquido desde o fundo, a área do segmento é costheta2 = 1 - 12 = 12 ;Longrightarrow;theta2 = pi3,; theta = 2pi3,; sintheta = sin2pi3 = raiz32onde A = R^22l(tfrac2pi3 - tfracraiz32r) = R^2;0,6142 = 0,6142;l(tfrac D2r)^2 = 0,15355,D^2 (em rad) é o ângulo correspondente e se relaciona com Q = A,V = 0,15355,D^2 times2 = 0,3071,D^2 ;Longrightarrow;D^2 = 15,750,3071 approx51,29,; Dapprox7,16;m por
  • No nosso caso , então
  • A área fica
  • Continua:

Resposta

a) m
b) m
c) m

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