Um perfil parabólico existe em uma tubulação de 10 mm de diâmetro. A tubulação é contraída a uma tubulação de 5 mm de diâmetro em que o perfil de velocidade é essencialmente uniforme a 2 m / s. Escreva a equação para a parábola. Suponha um escoamento incompressível.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um escoamento incompressível num tubo de diâmetro onde o perfil de velocidade é parabólico, e depois o tubo se contrai pra e ali o perfil fica uniforme a .
Conteúdo envolvido:
  • Conservação de massa em escoamento incompressível ( constante).
  • Perfil parabólico de velocidades: .
    Pra resolver a gente vai precisar integrar o perfil pra achar o fluxo volumétrico e igualar ao fluxo na parte contraída.

Passo 2

Calcular o fluxo volumétrico Q = A2;u2 = pi l(D22r)^2 ;u2 = pil(5,mm2r)^2 ;2 m/s = pi,(2,5times10^-3,m)^2 times 2 = 2pi times 6,25times10^-6 m^3/s = 1,25times10^-5,pi m^3/s na região contraída (diâmetro ), onde a velocidade é uniforme:

Passo 3

Na seção maior ( u(r)=umaxl(1-r^2R1^2r), R1=D12=5times10^-3,m ), o perfil é
Q = integral0^R1 u(r),2pi r,dr = umax,2pi integral0^R1l(1-r^2R1^2r)r,dr
O fluxo ali é
integral0^R1!r,dr =R1^22, integral0^R1!r^3,dr =R1^44,
Fazendo a integral
integral0^R1l(1-r^2R1^2r)r,dr =R1^22-R1^24 =R1^24
vem
Q = umax,2pi,R1^24 = umax,pi R1^22
Logo
umax,pi R1^22 =1,25times10^-5,pi Longrightarrow umax =1,25times10^-5,pi(pi,R1^2/2) =1,25times10^-5times2R1^2 =2,5times10^-5(5times10^-3)^2 =1 m/s
Como é incompressível, nessa seção tem que ser igual ao da contraída:

Passo 4

Agora que achamos boxed u(r) =1;gl(1-r^2(5times10^-3)^2gr) com 0<= r<= 5times10^-3,m e , a equação do perfil parabólico no tubo de 10 mm é

Resposta

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