UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CAMPUS CACHOEIRA DO SUL
Engenharia de Transportes e Logística
Disciplina: Obras Geotécnicas
Prof ^a Emanuele Amanda Gauer
Nome:

Avaliação 4 - Estruturas de Contenção - Cortinas

Para a construção de uma via urbana, é necessário realizar uma escavação de 5,0 m de profundidade no terreno. As sondagens realizadas apontaram que o perfil geotécnico do subsolo consiste de uma camada de areia medianamente compacta que vai da superfície do terreno natural até o limite da sondagem ( >40 m ). O lençol freático não foi encontrado durante as sondagens. Atribuiu-se à massa específica natural da areia o valor de 18 kN / m^3, enquanto o ângulo de atrito interno efetivo da areia é de 26^circ. Verificou-se que, para essa situação, não é possível realizar um corte no terreno sem a construção de uma estrutura de contenção. Dessa forma, optou-se por construir uma cortina de estacas-prancha. A partir das informações apresentadas, determine:
a) Os empuxos do lado ativo e passivo do solo.
b) Os braços de alavanca para os empuxos do solo considerando uma cortina sem ancoragem.
c) A profundidade de engastamento (ficha) exigida para as estacas considerando uma cortina sem ancoragem.
d) Os braços de alavanca para os empuxos do solo considerando uma cortina ancorada por uma linha de tirantes posicionada 1,2 m abaixo da superfície do maior maciço de solo.
e) A profundidade de engastamento (ficha) exigida para as estacas considerando uma cortina ancorada por uma linha de tirantes posicionada 1,2 m abaixo da superfície do maior maciço de solo.

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede? É um capítulo de Obras Geotécnicas, mais especificamente de empuxos de terra (ativa e passiva) em cortinas de estacas-prancha. A gente tem um corte de 5 m de profundidade em areia (γ=18 kN/m³, φ=26°), sem água. Tem cinco itens:
a) calcular os empuxos ativa e passiva;
b) achar o braço de alavanca desses empuxos numa cortina sem ancoragem;
c) ver qual a profundidade de engastamento (ficha) sem ancoragem;
d) achar os braços de alavanca se tiver um tirante a 1,2 m abaixo do topo do maciço;
e) achar a profundidade de engastamento nesse caso ancorado.
Pra resolver, vamos usar a teoria de empuxo de Rankine (solo sem coesão, superfície livre, sem água):
K_a = tan²(45°−φ/2) e K_p = tan²(45°+φ/2)
E = ½·γ·H²·K (para um empuxo triangular)
O centro de cada empuxo triangular fica a H/3 da base do triângulo.

Passo 2

Calcular K_a e K_p (Rankine):
K_a = tan²(45° − 26°/2) = tan²(45° − 13°) = tan²(32°) ≈ (0,6249)² = 0,3905
K_p = tan²(45° + 13°) = tan²(58°) ≈ (1,6003)² = 2,561

Passo 3

a) Empuxos ativa e passiva
E_a = ½·γ·H²·K_a = 0,5·18·5²·0,3905 = 0,5·18·25·0,3905 = 9·25·0,3905 = 87,9 kN/m
E_p = ½·18·5²·2,561 = 9·25·2,561 = 576,2 kN/m

Passo 4

b) Braços de alavanca sem ancoragem
Como o empuxo é triangular sobre altura H, o centro fica a H/3 da base (ou do topo, depende do ponto de referência). Aqui, para ambos (ativa e passiva) dá:
l = H/3 = 5/3 ≈ 1,67 m

Passo 5

c) Profundidade de engastamento sem ancoragem
Equilíbrio de momentos em torno da ponta enterrada (toe):
E_a·(x + H/3) = E_p·(x/3)
Substituindo E_a = ½γK_aH² e E_p = ½γK_p x² e cancelando ½γ:
K_a·H²·(x + H/3) = K_p·x²·(x/3)
3·K_a·H²·x + K_a·H³ = K_p·x³
Com H=5 m, K_a=0,3905, K_p=2,561, resolve-se numericamente e encontra-se
x ≈ 4,03 m

Passo 6

d) Braços de alavanca com tirante a 1,2 m do topo
– Empuxo ativo inteiro (0→5 m) atua a 1,67 m acima da base (z=–3,33 m). O tirante está em z=–1,20 m. Logo:
l_a = |–3,33 – (–1,20)| = 2,13 m
– Empuxo passivo acima do tirante: só de 0→1,2 m, E_p1 = ½·18·1,2²·2,561 ≈ 33,2 kN, seu centro a 1,2/3=0,40 m abaixo do topo (z=–0,40 m). Então
l_p = |–1,20 – (–0,40)| = 0,80 m

Passo 7

e) Profundidade de engastamento com tirante
Agora a porção ativa fica de 1,2 m até 5 m → H₁ = 3,8 m. A porção abaixo do tirante deve gerar empuxo passivo suficiente. Equilíbrio de momentos em torno do tirante:
E_a₁·(H₁/3) = E_p₂·(x/3)
Com E_a₁ = ½γK_aH₁² e E_p₂ = ½γK_p x², cancela ½γ/3 →
K_a·H₁³ = K_p·x³ ⇒ x = H₁·(K_a/K_p)^(1/3)
Plugando H₁=3,8 m, K_a/K_p=0,3905/2,561=0,1525 → ( )^(1/3)=0,534
x ≈ 3,8·0,534 = 2,03 m

Resposta

a) E_a = 87,9 kN/m ; E_p = 576,2 kN/m
b) l = H/3 = 1,67 m
c) x ≈ 4,03 m (engastamento sem tirante)
d) l_a = 2,13 m ; l_p = 0,80 m
e) x ≈ 2,03 m (engastamento abaixo do tirante)

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