Água e ar estão separados por uma parede plana de aço doce. Propõe-se aumentar a taxa de transferência de calor entre esses fluidos por meio da adição de aletas retas, de 1,27 \mathrm{~mm} de espessura e 2,5 \mathrm{~cm} de comprimento, espaçadas por 1,27 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de transferência de calor no lado do ar e no lado da água são constantes e iguais, respectivamente, a 11,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e 256 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas no lado da água.

Passo 1

O enunciado pede a variação percentual na transferência total de calor quando se colocam aletas retas no lado da água. Dados fornecidos:
  • Espessura da aleta: t=1{,}27\\ \mathrm{mm}=0{,}00127\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da aleta (projeção na fluido): L=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Espaçamento entre aletas (passo): s=1{,}27\\ \mathrm{cm}=0{,}0127\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de convecção do ar: h_{\text{ar}}=11{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Coeficiente de convecção da água: h_{\text{água}}=256\\ \mathrm{W/m^{2}K}á.
O que se pede exatamente:
  • Calcular a variação percentual (aumento ou diminuição) da transferência total de calor entre ar e água quando as aletas são adicionadas ao lado da água, comparando com a situação sem aletas.
Observação importante (escolha de modelagem, necessária para prosseguir):
  • O enunciado não fornece espessura da parede nem condutividade térmica do aço; para poder resolver escolho desprezar a resistência por condução através da parede (hipótese comum quando a parede metálica é fina e com condutividade alta, ficando as resistências convectivas dominantes). Vou declarar essa hipótese explicitamente e aplicá-la. Também será necessário usar a condutividade térmica do material da aleta para calcular eficiência da aleta; tomo um valor típico para aço doce: k_{\text{aço}}\approx54\\ \mathrm{W/mK}ç. Se o seu professor usar outro valor, o resultado mudará um pouco, mas o raciocínio é o mesmo.

Passo 2

Modelo de resistência térmica usado e expressão da transferência sem aletas.
  • Com a hipótese de resistência de condução desprezível, as resistências térmicas em série são apenas as resistências convectivas dos dois lados.
  • Sem aletas, as áreas em ambos os lados são iguais (área de referência unitária). A resistência total por unidade de área é
R_{\text{tot,sem}}=\frac{1}{h_{\text{ar}}}+\frac{1}{h_{\text{água}}}.á
  • A condutância térmica total por unidade de área (ou seja, G_{\text{sem}}, em \mathrm{W/(m^{2}K)}) é o inverso:
G_{\text{sem}}=\frac{1}{R_{\text{tot,sem}}}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\text{ar}}}+\dfrac{1}{h_{\text{água}}}}=\frac{h_{\text{ar}}\,h_{\text{água}}}{h_{\text{ar}}+h_{\text{água}}}.ááá
  • Vou calcular numericamente G_{\text{sem}} para referência (usando os valores dados):
\frac{1}{h_{\text{ar}}}=\frac{1}{11{,}4}\\ \mathrm{K\,m^{2}/W}\approx0{,}0877193, \qquad \frac{1}{h_{\text{água}}}=\frac{1}{256}\\ \mathrm{K\,m^{2}/W}=0{,}00390625,á
R_{\text{tot,sem}}=0{,}0877193+0{,}00390625=0{,}09162555\\ \mathrm{K\,m^{2}/W},
G_{\text{sem}}=\frac{1}{0{,}09162555}\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}\approx10{,}9129\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.

Passo 3

Como as aletas alteram a área efetiva no lado da água (ideia geral).
  • As aletas aumentam a área disponível para convecção no lado da água. Entretanto, cada aleta não traz 100% da sua área nominal à contribuição térmica por causa da condutividade finita da aleta: usa-se a eficiência da aleta \eta para descontar isso.
  • Trabalhamos por unidade de área de base (escolho 1{,}00 \mathrm{m^{2}} de parede como referência), considerando as aletas distribuídas com passo s ao longo de 1{,}00 m de largura.

Passo 4

Cálculo do número de aletas por metro e da área geométrica total adicionada.
  • Número de aletas por metro de largura (centro a centro):
N=\frac{1}{s}=\frac{1}{0{,}0127\\ \mathrm{m}}\approx78{,}7401575\\ \text{aletas/m}.
  • Fração da área de base ocupada pelas aletas (somatório das espessuras):
N\,t=\frac{t}{s}=\frac{0{,}00127}{0{,}0127}=0{,}10.
Portanto, a área plana exposta da base (sem contar os lados das aletas) por 1{,}00 m de largura é
A_{\text{plano}}=1- N\,t=1-0{,}1=0{,}9\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área lateral total das aletas (duas faces por aleta) por metro de largura:
A_{\text{lados}}=N\cdot 2L = \frac{2L}{s} = \frac{2\cdot0{,}025}{0{,}0127}\approx3{,}9370\\ \mathrm{m^{2}}.
(Observação: a área da ponta de cada aleta é muito pequena comparada e pode ser desprezada.)

Passo 5

Conceito e fórmula da eficiência da aleta (aula curta).
  • A eficiência de uma aleta \eta é a razão entre o calor efetivamente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base. Em palavras: \eta corrige a área adicionada pelas perdas por condução ao longo da aleta.
  • Para aletas retas, planas, de espessura pequena t e com convecção em ambas as faces, o parâmetro
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}
aparece na solução da equação de condução unidimensional na aleta (onde h é o coeficiente convectivo do fluido que envolve a aleta e k é a condutividade térmica da aleta). Para aleta com extremidade livre (não muito complexa) a eficiência aproximada é
\eta=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
  • Aqui h a usar é o do fluido que envolve a aleta (a água), então h=256\\ \mathrm{W/m^{2}K}. Vou usar k_{\text{aço}}=54\\ \mathrm{W/mK}ç (valor típico para aço doce). Todas as variáveis:
    • h: coeficiente de convecção do fluido (aqui água);
    • k: condutividade térmica da aleta (aço);
    • t: espessura da aleta;
    • L: comprimento da aleta (do pé ao bordo).
  • Calculemos m, mL e \eta:
m=\sqrt{\frac{2\cdot256}{54\cdot0{,}00127}} =\sqrt{\frac{512}{0{,}06858}}\approx\sqrt{7467{,}95}\approx86{,}4392\\ \mathrm{m^{-1}}.
mL=86{,}4392\cdot0{,}025\approx2{,}16098.
\operatorname{tanh}(2{,}16098)\approx0{,}973778, \qquad \eta=\frac{0{,}973778}{2{,}16098}\approx0{,}45058.
Portanto a eficiência da aleta é \eta\approx0{,}4506 (ou cerca de 45{,}06\%).

Passo 6

Área efetiva de convecção do lado da água com as aletas (considerando eficiência).
  • A área efetiva total no lado da água por 1{,}00 m de base é a soma da área plana exposta mais a contribuição efetiva das laterais das aletas:
A_{\text{efetiva}}=A_{\text{plano}}+N\cdot(2L)\cdot\eta.
Numericamente:
N\cdot(2L)\cdot\eta = 78{,}7401575\cdot0{,}05\cdot0{,}45058\approx1{,}77432\\ \mathrm{m^{2}}.
A_{\text{efetiva}}=0{,}9+1{,}77432=2{,}67432\\ \mathrm{m^{2}}.
Observação: sem aletas a área no lado da água era 1{,}0\\ \mathrm{m^{2}}; com aletas a área efetiva aumenta para cerca de 2{,}674\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 7

Cálculo da nova condutância total (com aletas) e comparação.
  • Com aletas, a resistência do lado da água torna-se
R_{\text{água,com}}=\frac{1}{h_{\text{água}}\,A_{\text{efetiva}}}=\frac{1}{256\cdot2{,}67432}\\ \mathrm{K/W}\approx0{,}00146047\\ \mathrm{K\,m^{2}/W}.áá
  • A resistência do lado do ar permanece a mesma (área de ar = 1{,}0 \mathrm{m^{2}}):
R_{\text{ar}}=\frac{1}{h_{\text{ar}}}=\frac{1}{11{,}4}\approx0{,}0877193\\ \mathrm{K\,m^{2}/W}.
  • A resistência total com aletas:
R_{\text{tot,com}}=R_{\text{ar}}+R_{\text{água,com}}=0{,}0877193+0{,}00146047=0{,}08917977\\ \mathrm{K\,m^{2}/W}.á
  • A condutância total com aletas:
G_{\text{com}}=\frac{1}{R_{\text{tot,com}}}\approx\frac{1}{0{,}08917977}\approx11{,}209\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
  • Finalmente, a variação percentual na transferência total (usando condutância como medida da transferência por unidade de área de base) é
\%\\ \text{variação}=\frac{G_{\text{com}}-G_{\text{sem}}}{G_{\text{sem}}}\times100\%.çã
Numericamente:
\frac{11{,}209-10{,}9129}{10{,}9129}\times100\%\approx0{,}02712\times100\%\approx2{,}71\%.

Passo 8

Interpretação rápida (motivação prática)
  • O aumento total é pequeno ( \approx2{,}7\%) porque a resistência do lado do ar domina o circuito térmico (a resistência convectiva do ar é muito maior que a convectiva da água), então melhorar ainda mais a resistência do lado da água (mesmo aumentando bastante a área) só dá ganho limitado. Em outras palavras: colocar aletas no lado onde já se tem resistência pequena traz pouco benefício; seria mais eficaz atuar no lado do ar (por exemplo aumentando convecção nesse lado).

Resposta

Aumento de 2{,}71\%

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