Água e ar estão separados por uma parede plana de aço doce. Propõe-se aumentar a taxa de transferência de calor entre esses fluidos por meio da adição de aletas retas, de
de espessura e
de comprimento, espaçadas por
. Os coeficientes de transferência de calor no lado do ar e no lado da água são constantes e iguais, respectivamente, a
e
. Determine a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas no lado da água.
Passo 1
O enunciado pede a variação percentual na transferência total de calor quando se colocam aletas retas no lado da água. Dados fornecidos:
- Espessura da aleta:
. - Comprimento da aleta (projeção na fluido):
. - Espaçamento entre aletas (passo):
. - Coeficiente de convecção do ar:
. - Coeficiente de convecção da água:
.
O que se pede exatamente:
- Calcular a variação percentual (aumento ou diminuição) da transferência total de calor entre ar e água quando as aletas são adicionadas ao lado da água, comparando com a situação sem aletas.
Observação importante (escolha de modelagem, necessária para prosseguir):
- O enunciado não fornece espessura da parede nem condutividade térmica do aço; para poder resolver escolho desprezar a resistência por condução através da parede (hipótese comum quando a parede metálica é fina e com condutividade alta, ficando as resistências convectivas dominantes). Vou declarar essa hipótese explicitamente e aplicá-la. Também será necessário usar a condutividade térmica do material da aleta para calcular eficiência da aleta; tomo um valor típico para aço doce:
. Se o seu professor usar outro valor, o resultado mudará um pouco, mas o raciocínio é o mesmo.
Passo 2
Modelo de resistência térmica usado e expressão da transferência sem aletas.
- Com a hipótese de resistência de condução desprezível, as resistências térmicas em série são apenas as resistências convectivas dos dois lados.
- Sem aletas, as áreas em ambos os lados são iguais (área de referência unitária). A resistência total por unidade de área é
- A condutância térmica total por unidade de área (ou seja,
, em ) é o inverso:
- Vou calcular numericamente
para referência (usando os valores dados):
Passo 3
Como as aletas alteram a área efetiva no lado da água (ideia geral).
- As aletas aumentam a área disponível para convecção no lado da água. Entretanto, cada aleta não traz 100% da sua área nominal à contribuição térmica por causa da condutividade finita da aleta: usa-se a eficiência da aleta
para descontar isso. - Trabalhamos por unidade de área de base (escolho 1{,}00
de parede como referência), considerando as aletas distribuídas com passo ao longo de 1{,}00 m de largura.
Passo 4
Cálculo do número de aletas por metro e da área geométrica total adicionada.
- Número de aletas por metro de largura (centro a centro):
- Fração da área de base ocupada pelas aletas (somatório das espessuras):
Portanto, a área plana exposta da base (sem contar os lados das aletas) por 1{,}00 m de largura é
- Área lateral total das aletas (duas faces por aleta) por metro de largura:
(Observação: a área da ponta de cada aleta é muito pequena comparada e pode ser desprezada.)
Passo 5
Conceito e fórmula da eficiência da aleta (aula curta).
- A eficiência de uma aleta
é a razão entre o calor efetivamente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base. Em palavras: corrige a área adicionada pelas perdas por condução ao longo da aleta. - Para aletas retas, planas, de espessura pequena
e com convecção em ambas as faces, o parâmetro
aparece na solução da equação de condução unidimensional na aleta (onde
é o coeficiente convectivo do fluido que envolve a aleta e
é a condutividade térmica da aleta). Para aleta com extremidade livre (não muito complexa) a eficiência aproximada é
- Aqui
a usar é o do fluido que envolve a aleta (a água), então . Vou usar (valor típico para aço doce). Todas as variáveis: -
: coeficiente de convecção do fluido (aqui água); -
: condutividade térmica da aleta (aço); -
: espessura da aleta; -
: comprimento da aleta (do pé ao bordo).
-
- Calculemos
, e :
Portanto a eficiência da aleta é
(ou cerca de
).
Passo 6
Área efetiva de convecção do lado da água com as aletas (considerando eficiência).
- A área efetiva total no lado da água por 1{,}00 m de base é a soma da área plana exposta mais a contribuição efetiva das laterais das aletas:
Numericamente:
Observação: sem aletas a área no lado da água era
; com aletas a área efetiva aumenta para cerca de
.
Passo 7
Cálculo da nova condutância total (com aletas) e comparação.
- Com aletas, a resistência do lado da água torna-se
- A resistência do lado do ar permanece a mesma (área de ar = 1{,}0
):
- A resistência total com aletas:
- A condutância total com aletas:
- Finalmente, a variação percentual na transferência total (usando condutância como medida da transferência por unidade de área de base) é
Numericamente:
Passo 8
Interpretação rápida (motivação prática)
- O aumento total é pequeno (
) porque a resistência do lado do ar domina o circuito térmico (a resistência convectiva do ar é muito maior que a convectiva da água), então melhorar ainda mais a resistência do lado da água (mesmo aumentando bastante a área) só dá ganho limitado. Em outras palavras: colocar aletas no lado onde já se tem resistência pequena traz pouco benefício; seria mais eficaz atuar no lado do ar (por exemplo aumentando convecção nesse lado).
Resposta
Aumento de