Água e ar estão separados por uma parede plana de aço doce. Propõe-se aumentar a taxa de transferência de calor entre esses fluidos por meio da adição de aletas retas, de
de espessura e
de comprimento, espaçadas por
. Os coeficientes de transferência de calor no lado do ar e no lado da água são constantes e iguais, respectivamente, a
e
. Determine a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas no lado do ar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Espessura da aleta:
. - Comprimento da aleta (projeção a partir da parede):
. - Espaçamento entre aletas (passo):
. - Coeficiente convectivo no lado do ar:
. - Coeficiente convectivo no lado da água:
.
- Espessura da aleta:
- O que o problema pede:
- Determinar a variação percentual na transferência total de calor quando as aletas são colocadas no lado do ar (comparar transferência com aletas versus sem aletas), assumindo as condições dadas.
Passo 2
Vou expor as hipóteses físicas e o método que vou usar (não se assuste — são hipóteses comuns e necessárias para resolver com os dados fornecidos).
- Hipóteses razoáveis (explicadas):
- A parede metálica é bastante condutora e/ou fina, de modo que a resistência de condução através da placa é desprezível em comparação com as resistências convectivas. Assim, a resistência no conjunto é dominada pelas convecções dos dois lados. Isso é típico quando se dá somente os valores de
e não a espessura da parede. - A base da aleta (a parte da parede à qual as aletas estão fixas) é aproximadamente isoterma (temperatura praticamente igual ao longo da superfície de contato), por alta condutividade do aço. Isso permite usar eficiência de aleta definida em relação à temperatura da base.
- As aletas são retas e finas; para a análise usaremos o modelo clássico de aleta retangular (duas faces expostas ao fluido).
- Escolheremos uma condutividade térmica típica para aço doce (mild steel) porque o enunciado não fornece
. Valor típico: . Se o material fosse outro, o resultado mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza permaneceria.
- A parede metálica é bastante condutora e/ou fina, de modo que a resistência de condução através da placa é desprezível em comparação com as resistências convectivas. Assim, a resistência no conjunto é dominada pelas convecções dos dois lados. Isso é típico quando se dá somente os valores de
- Estratégia de cálculo:
- Calcular a eficiência da aleta
usando o modelo unidimensional para aleta retangular (duas faces). - Calcular a condutância convectiva efetiva no lado do ar por unidade de área planform (plano da parede) considerando a área adicional das aletas e a eficiência
. - Calcular a condutância global (coeficiente global de transferência
) antes (sem aletas) e depois (com aletas) e comparar para obter a variação percentual.
- Calcular a eficiência da aleta
Passo 3
Formulário e explicação das fórmulas que vamos usar (aula compacta mas clara).
- Para uma aleta retangular fina com duas faces expostas (espessura
, profundidade unitaria no sentido perpendicular às seções que estamos considerando), define-se Aqui é o perímetro molhado da seção da aleta e é a área da seção transversal da aleta. Para uma aleta muito fina e tomando profundidade por unidade ( em profundidade), tem-se (duas faces de comprimento unitário) e (espessura vezes profundidade unitária). Assim: A quantidade tem dimensão de e descreve o decaimento da diferença de temperatura ao longo da aleta. - A eficiência média da aleta (razão entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base) para uma aleta longa e de seção fina é, na forma usual:
Essa fórmula é padrão para aletas retangulares (com convecção nas superfícies planas e ponta tratada consistentemente na dedução). - Agora, por unidade de comprimento na direção da aleta (ou por unidade de profundidade), considere um passo (pitch) da aleta: comprimento de base
. Nesse passo há: - área de base exposta entre aletas (plano da parede):
. - área das duas faces da aleta:
(desprezando tip area pequena).
Logo, por unidade de área planform (por exemplo porde profundidade e comprimento na parede), a fração de área base é e a área das aletas por área planform é . Aumento efetivo de condutância convectiva do lado do ar:
Essa expressão significa: a parte do plano entre as aletas remove calor com coeficiente (eficiência ), enquanto as faces das aletas removem calor com multiplicado pela eficiência média . - área de base exposta entre aletas (plano da parede):
- Finalmente, a condutância global por unidade de área planform (coeficiente global
) com duas resistências convectivas em série (água e ar) é Sem aletas, e obtemos . Com aletas, calculamos . A variação percentual da transferência total (para mesma entre os fluidos) é
Passo 4
Cálculo numérico da eficiência da aleta
.
- Primeiro calculemos
: Calcule internamente: Logo - Agora
: - Calcule
: , portanto Interpretação rápida: a aleta é relativamente curta em relação à escala , logo tem eficiência alta (em torno de ).
Passo 5
Cálculo do coeficiente convectivo eficaz no lado do ar
.
- Primeiro obtenha as frações:
Aqui (exatamente ), logo E - Assim
Calcule o parêntese: Portanto Comentário: o efeito das aletas aumentou a condutância convectiva do lado do ar de para cerca de — quase um fator 4,6.
Passo 6
Cálculo do coeficiente global
sem aletas (
).
- Sem aletas,
. Assim Calcule numericamente:
Logo
Passo 7
Cálculo do coeficiente global
com aletas (
).
- Com as aletas usamos
. Então Numericamente:
Logo
Passo 8
Cálculo da variação percentual da transferência total.
- A variação percentual (aumento) é
Substituindo os valores:
- Interpretação curta e motivadora: colocar as aletas no lado do ar aumenta a taxa total de transferência de calor em cerca de
— ou seja, a transferência fica aproximadamente 4 vezes maior do que sem as aletas. Isso faz sentido físico porque a resistência do lado do ar era a dominante (pequeno ), e as aletas aumentam muito a área efetiva deste lado, reduzindo muito essa resistência.