Água e ar estão separados por uma parede plana de aço doce. Propõe-se aumentar a taxa de transferência de calor entre esses fluidos por meio da adição de aletas retas, de 1,27 \mathrm{~mm} de espessura e 2,5 \mathrm{~cm} de comprimento, espaçadas por 1,27 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de transferência de calor no lado do ar e no lado da água são constantes e iguais, respectivamente, a 11,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e 256 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas no lado do ar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Espessura da aleta: t=1{,}27\\ \mathrm{mm}=0{,}00127\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento da aleta (projeção a partir da parede): L=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
    • Espaçamento entre aletas (passo): s=1{,}27\\ \mathrm{cm}=0{,}0127\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente convectivo no lado do ar: h_a=11{,}4\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
    • Coeficiente convectivo no lado da água: h_w=256\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a variação percentual na transferência total de calor quando as aletas são colocadas no lado do ar (comparar transferência com aletas versus sem aletas), assumindo as condições dadas.

Passo 2

Vou expor as hipóteses físicas e o método que vou usar (não se assuste — são hipóteses comuns e necessárias para resolver com os dados fornecidos).
  • Hipóteses razoáveis (explicadas):
    1. A parede metálica é bastante condutora e/ou fina, de modo que a resistência de condução através da placa é desprezível em comparação com as resistências convectivas. Assim, a resistência no conjunto é dominada pelas convecções dos dois lados. Isso é típico quando se dá somente os valores de h e não a espessura da parede.
    2. A base da aleta (a parte da parede à qual as aletas estão fixas) é aproximadamente isoterma (temperatura praticamente igual ao longo da superfície de contato), por alta condutividade do aço. Isso permite usar eficiência de aleta definida em relação à temperatura da base.
    3. As aletas são retas e finas; para a análise usaremos o modelo clássico de aleta retangular (duas faces expostas ao fluido).
    4. Escolheremos uma condutividade térmica típica para aço doce (mild steel) porque o enunciado não fornece k. Valor típico: k=60\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}. Se o material fosse outro, o resultado mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza permaneceria.
  • Estratégia de cálculo:
    1. Calcular a eficiência da aleta \eta_f usando o modelo unidimensional para aleta retangular (duas faces).
    2. Calcular a condutância convectiva efetiva no lado do ar por unidade de área planform (plano da parede) considerando a área adicional das aletas e a eficiência \eta_f.
    3. Calcular a condutância global (coeficiente global de transferência U) antes (sem aletas) e depois (com aletas) e comparar para obter a variação percentual.

Passo 3

Formulário e explicação das fórmulas que vamos usar (aula compacta mas clara).
  • Para uma aleta retangular fina com duas faces expostas (espessura t, profundidade unitaria no sentido perpendicular às seções que estamos considerando), define-se m=\sqrt{\frac{h_a P}{k A_c}}.Aqui P é o perímetro molhado da seção da aleta e A_c é a área da seção transversal da aleta. Para uma aleta muito fina e tomando profundidade por unidade ( 1\\ \mathrm{m} em profundidade), tem-se P\approx 2 (duas faces de comprimento unitário) e A_c=t (espessura vezes profundidade unitária). Assim: m=\sqrt{\frac{2 h_a}{k\, t}}.A quantidade m tem dimensão de \mathrm{m^{-1}} e descreve o decaimento da diferença de temperatura ao longo da aleta.
  • A eficiência média da aleta (razão entre o calor realmente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base) para uma aleta longa e de seção fina é, na forma usual: \eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(m L)}{m L}.Essa fórmula é padrão para aletas retangulares (com convecção nas superfícies planas e ponta tratada consistentemente na dedução).
  • Agora, por unidade de comprimento na direção da aleta (ou por unidade de profundidade), considere um passo (pitch) da aleta: comprimento de base s. Nesse passo há:
    • área de base exposta entre aletas (plano da parede): A_b=(s-t)\times 1.
    • área das duas faces da aleta: A_{\text{fin}}=2 L \times 1 (desprezando tip area pequena).
      Logo, por unidade de área planform (por exemplo por 1\\ \mathrm{m} de profundidade e comprimento s na parede), a fração de área base é (s-t)/s e a área das aletas por área planform é 2L/s. Aumento efetivo de condutância convectiva do lado do ar:
    h_{a,\mathrm{ef}}=h_a\left(\frac{s-t}{s}+\frac{2L}{s}\,\eta_f\right).Essa expressão significa: a parte do plano entre as aletas remove calor com coeficiente h_a (eficiência 1), enquanto as faces das aletas removem calor com h_a multiplicado pela eficiência média \eta_f.
  • Finalmente, a condutância global por unidade de área planform (coeficiente global U) com duas resistências convectivas em série (água e ar) é \frac{1}{U}=\frac{1}{h_w}+\frac{1}{h_{a,\mathrm{ef}}}.Sem aletas, h_{a,\mathrm{ef}}=h_a e obtemos U_{\text{sem}}. Com aletas, calculamos U_{\text{com}}. A variação percentual da transferência total (para mesma \Delta T entre os fluidos) é \%\\ \text{variação}=\frac{U_{\text{com}}-U_{\text{sem}}}{U_{\text{sem}}}\times 100\%.çã

Passo 4

Cálculo numérico da eficiência da aleta \eta_f.
  • Primeiro calculemos m: m=\sqrt{\frac{2 h_a}{k\, t}}=\sqrt{\frac{2\cdot 11{,}4}{60\cdot 0{,}00127}}.Calcule internamente: \frac{2\cdot 11{,}4}{60\cdot 0{,}00127}=\frac{22{,}8}{0{,}0762}\approx 299{,}475.Logo m\approx\sqrt{299{,}475}\approx 17{,}305\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Agora mL: mL=17{,}305\times 0{,}025\approx 0{,}4326.
  • Calcule \eta_f: \eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}=\frac{\operatorname{tanh}(0{,}4326)}{0{,}4326}. \operatorname{tanh}(0{,}4326)\approx 0{,}4074, portanto \eta_f\approx\frac{0{,}4074}{0{,}4326}\approx 0{,}9418.Interpretação rápida: a aleta é relativamente curta em relação à escala 1/m, logo tem eficiência alta (em torno de 94{,}2\%).

Passo 5

Cálculo do coeficiente convectivo eficaz no lado do ar h_{a,\mathrm{ef}}.
  • Primeiro obtenha as frações: \frac{s-t}{s}=1-\frac{t}{s}.Aqui t/s = 0{,}00127/0{,}0127=0{,}1 (exatamente 10\%), logo \frac{s-t}{s}=0{,}9.E \frac{2L}{s}=\frac{0{,}05}{0{,}0127}\approx 3{,}9370.
  • Assim h_{a,\mathrm{ef}}=11{,}4\left(0{,}9+3{,}9370\cdot 0{,}9418\right).Calcule o parêntese: 3{,}9370\cdot 0{,}9418\approx 3{,}708, \qquad 0{,}9+3{,}708}=4{,}608.Portanto h_{a,\mathrm{ef}}\approx 11{,}4\times 4{,}608\approx 52{,}53\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.Comentário: o efeito das aletas aumentou a condutância convectiva do lado do ar de 11{,}4 para cerca de 52{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}} — quase um fator 4,6.

Passo 6

Cálculo do coeficiente global U sem aletas ( U_{\text{sem}}).
  • Sem aletas, h_{a,\mathrm{ef}}=h_a=11{,}4. Assim \frac{1}{U_{\text{sem}}}=\frac{1}{h_w}+\frac{1}{h_a}=\frac{1}{256}+\frac{1}{11{,}4}.Calcule numericamente: \frac{1}{256}\approx 0{,}00390625,\qquad \frac{1}{11{,}4}\approx 0{,}0877193,
\frac{1}{U_{\text{sem}}}\approx 0{,}00390625+0{,}0877193=0{,}0916256.
Logo
U_{\text{sem}}\approx\frac{1}{0{,}0916256}\approx 10{,}914\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.

Passo 7

Cálculo do coeficiente global U com aletas ( U_{\text{com}}).
  • Com as aletas usamos h_{a,\mathrm{ef}}\approx 52{,}53. Então \frac{1}{U_{\text{com}}}=\frac{1}{h_w}+\frac{1}{h_{a,\mathrm{ef}}}=\frac{1}{256}+\frac{1}{52{,}53}.Numericamente: \frac{1}{52{,}53}\approx 0{,}019033,\qquad \frac{1}{256}=0{,}00390625,
\frac{1}{U_{\text{com}}}\approx 0{,}00390625+0{,}019033}=0{,}0229393.
Logo
U_{\text{com}}\approx\frac{1}{0{,}0229393}\approx 43{,}588\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.

Passo 8

Cálculo da variação percentual da transferência total.
  • A variação percentual (aumento) é \%\\ \text{variação}=\frac{U_{\text{com}}-U_{\text{sem}}}{U_{\text{sem}}}\times 100\%.çãSubstituindo os valores: \%\\ \text{variação}=\frac{43{,}588-10{,}914}{10{,}914}\times 100\%\approx\frac{32{,}674}{10{,}914}\times100\%.çã
\%\\ \text{variação}\approx 299{,}5\%.çã
  • Interpretação curta e motivadora: colocar as aletas no lado do ar aumenta a taxa total de transferência de calor em cerca de 300\% — ou seja, a transferência fica aproximadamente 4 vezes maior do que sem as aletas. Isso faz sentido físico porque a resistência do lado do ar era a dominante (pequeno h_a), e as aletas aumentam muito a área efetiva deste lado, reduzindo muito essa resistência.

Resposta

299{,}5\%

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