(30 pontos) em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de diâmetro interno
, espessura
, e condutividade térmica
será usado para armazenar água gelada a
. A água mantém um coeficiente convectivo médio de
e será usada para resfriamento rápido de produtos após pasteurização. As paredes da sala e o ar ambiente permanecem com temperatura constante de
. Considerando que a parede externa do contêiner tem uma cobertura perfeitamente preta e que a troca de calor entre a água fria e a sala da fábrica se dá por convecção e radiação, faça o que se pede:
(a) ( 5 pontos) desenhe o circuito térmico deste problema;
(b) (15 pontos) considerando o coeficiente convectivo médio do ambiente externo igual a
e a temperatura da parede externa do contêiner a
, determine a resistência equivalente do problema.
(c) (10 pontos) determine a taxa total de transferência de calor neste processo.
(a) ( 5 pontos) desenhe o circuito térmico deste problema;
(b) (15 pontos) considerando o coeficiente convectivo médio do ambiente externo igual a
(c) (10 pontos) determine a taxa total de transferência de calor neste processo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Diâmetro interno do contêiner:
. Logo o raio interno é . - Espessura da parede:
. Logo o raio externo é . - Condutividade térmica do material:
. - Água armazenada a
(temperatura do fluido interno): . - Coeficiente convectivo médio interno (água → parede interna):
. - Sala/ambiente externo em
. - Para (b) usar coeficiente convectivo externo
e temperatura da superfície externa do contêiner . - Parede externa perfeitamente preta
emissividade .
O enunciado pede:
(a) desenhar o circuito térmico do problema;
(b) considerando e
, determinar a resistência equivalente do problema;
(c) determinar a taxa total de transferência de calor (potência térmica) do processo.
(a) desenhar o circuito térmico do problema;
(b) considerando
(c) determinar a taxa total de transferência de calor (potência térmica) do processo.
Passo 2
Desenho/descrição do circuito térmico (resistências térmicas):
- Nó térmico 1: água fria à
. - Resistência de convecção interna
entre água e superfície interna. - Resistência de condução radial através da casca esférica
entre superfície interna e superfície externa. - Na superfície externa há duas formas de troca com o ambiente em paralelo:
- Resistência de convecção externa
(coeficiente ). - Resistência radiativa
(superfície preta trocando radiação com ambiente a ).
- Resistência de convecção externa
- Essas duas (convecção externa e radiação) estão em paralelo e equivalem a uma resistência única
. - Depois vem o ambiente a
.
Em forma compacta, o circuito é:
Passo 3
Fórmulas das resistências — explicação e significado das variáveis.
- Resistência por convecção (superfície com área
e coeficiente ):
Aqui
é o coeficiente de convecção (W/m2K),
é a área da superfície (m2). A unidade de
é K/W.
- Resistência por condução radial em uma casca esférica (entre raios
e , condutividade ):
Derivação rápida: a lei de Fourier em coordenadas esféricas integrada dá
Aqui
é a condutividade (W/m·K). Esse é o termo apropriado para condução através de uma casca esférica fina ou espessa.
- Troca radiativa linearizada:
A taxa radiativa líquida de uma superfície com temperaturatrocando com um ambiente a vale
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann. Podemos linearizar essa expressão na forma
definindo um coeficiente radiativo equivalente
Nesse caso a resistência radiativa é
Observação: as temperaturas na fórmula de radiação devem estar em kelvin. Como a superfície é preta,
.
- Quando convecção e radiação ocorrem simultaneamente entre a mesma superfície e o mesmo ambiente, as condutâncias somam:
logo
Passo 4
Cálculo das áreas e parâmetros geométricos (numéricos).
-
. -
. - Área interna (superfície sobre a qual age
):
- Área externa:
Passo 5
Cálculo de
e
.
- Resistência de convecção interna:
- Resistência de condução através da casca esférica:
Substituindo:
Observação: percebe-se já que
é muito menor que
, tipicamente a convecção interna domina a queda de temperatura do lado da água.
Passo 6
Cálculo do coeficiente radiativo
e da resistência externa equivalente
.
Primeiro transformar temperaturas para kelvin:
Calcular
pela fórmula linearizada:
Com
e
,
Agora a condutância total superficial é
. Portanto
Passo 7
Resistência equivalente total entre a água (
) e o ambiente (
).
As resistências estão em série:
. Substituindo valores:
Passo 8
Cálculo da taxa total de transferência de calor
.
A diferença de temperatura entre o ambiente e a água é
Usando a resistência equivalente,
Interpretação: a perda de calor total do ambiente para a água é cerca de
(ou seja, se o interior está a
e a sala a
, essa é a potência de troca).
Resposta
(a)
(b)
(c)