(30 pontos) em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de diâmetro interno 3,0 \mathrm{~m}, espessura 2,0 \mathrm{~cm}, e condutividade térmica \mathrm{k}=15,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} será usado para armazenar água gelada a 0,0^{\circ} \mathrm{C}. A água mantém um coeficiente convectivo médio de 80,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e será usada para resfriamento rápido de produtos após pasteurização. As paredes da sala e o ar ambiente permanecem com temperatura constante de 22,0^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a parede externa do contêiner tem uma cobertura perfeitamente preta e que a troca de calor entre a água fria e a sala da fábrica se dá por convecção e radiação, faça o que se pede:
(a) ( 5 pontos) desenhe o circuito térmico deste problema;
(b) (15 pontos) considerando o coeficiente convectivo médio do ambiente externo igual a 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a temperatura da parede externa do contêiner a 5^{\circ} \mathrm{C}, determine a resistência equivalente do problema.
(c) (10 pontos) determine a taxa total de transferência de calor neste processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Diâmetro interno do contêiner: 3{,}0\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno é r_i=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede: 2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}. Logo o raio externo é r_o=r_i+0{,}02=1{,}52\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material: k=15{,}0\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
  • Água armazenada a 0{,}0^\circ\mathrm{C} (temperatura do fluido interno): T_{\text{água}}=0{,}0^\circ\mathrm{C}á.
  • Coeficiente convectivo médio interno (água → parede interna): h_i=80{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Sala/ambiente externo em T_{\infty}=22{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Para (b) usar coeficiente convectivo externo h_{c,ext}=10{,}0\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e temperatura da superfície externa do contêiner T_s=5{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Parede externa perfeitamente preta \Rightarrow emissividade \varepsilon=1.
O enunciado pede:
(a) desenhar o circuito térmico do problema;
(b) considerando h_{c,ext}=10\\ \mathrm{W/(m^2K)} e T_s=5^\circ\mathrm{C}, determinar a resistência equivalente do problema;
(c) determinar a taxa total de transferência de calor (potência térmica) do processo.

Passo 2

Desenho/descrição do circuito térmico (resistências térmicas):
  • Nó térmico 1: água fria à T_{\text{água}}á.
  • Resistência de convecção interna R_{conv,i} entre água e superfície interna.
  • Resistência de condução radial através da casca esférica R_{cond} entre superfície interna e superfície externa.
  • Na superfície externa há duas formas de troca com o ambiente em paralelo:
    • Resistência de convecção externa R_{conv,ext} (coeficiente h_{c,ext}).
    • Resistência radiativa R_{rad} (superfície preta trocando radiação com ambiente a T_{\infty}).
  • Essas duas (convecção externa e radiação) estão em paralelo e equivalem a uma resistência única R_{surf}.
  • Depois vem o ambiente a T_{\infty}.
Em forma compacta, o circuito é:
T_{\text{água}} \;-\; R_{conv,i} \;-\; R_{cond} \;-\; \big( R_{conv,ext} \parallel R_{rad} \big) \;-\; T_{\infty}.á

Passo 3

Fórmulas das resistências — explicação e significado das variáveis.
  1. Resistência por convecção (superfície com área A e coeficiente h):
R_{conv}=\frac{1}{h\,A}.
Aqui h é o coeficiente de convecção (W/m2K), A é a área da superfície (m2). A unidade de R_{conv} é K/W.
  1. Resistência por condução radial em uma casca esférica (entre raios r_i e r_o, condutividade k):
    Derivação rápida: a lei de Fourier em coordenadas esféricas integrada dá
R_{cond}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right).
Aqui k é a condutividade (W/m·K). Esse é o termo apropriado para condução através de uma casca esférica fina ou espessa.
  1. Troca radiativa linearizada:
    A taxa radiativa líquida de uma superfície com temperatura T_s trocando com um ambiente a T_\infty vale
\dot{Q}_{rad}= \varepsilon \sigma A \left(T_s^4-T_\infty^4\right),
onde \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)} é a constante de Stefan–Boltzmann. Podemos linearizar essa expressão na forma \dot{Q}_{rad}=h_{rad} A (T_s-T_\infty) definindo um coeficiente radiativo equivalente
h_{rad}=\varepsilon\,\sigma\,(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty).
Nesse caso a resistência radiativa é
R_{rad}=\frac{1}{h_{rad}\,A}.
Observação: as temperaturas na fórmula de radiação devem estar em kelvin. Como a superfície é preta, \varepsilon=1.
  1. Quando convecção e radiação ocorrem simultaneamente entre a mesma superfície e o mesmo ambiente, as condutâncias somam:
\frac{1}{R_{surf}}=h_{c,ext}A + h_{rad}A = (h_{c,ext}+h_{rad})A,
logo
R_{surf}=\frac{1}{(h_{c,ext}+h_{rad})A}.

Passo 4

Cálculo das áreas e parâmetros geométricos (numéricos).
  • r_i=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • r_o=1{,}52\\ \mathrm{m}.
  • Área interna (superfície sobre a qual age h_i):
A_i=4\pi r_i^2 = 4\pi(1{,}5)^2 = 9\pi \approx 28{,}274\\ \mathrm{m^2}.
  • Área externa:
A_o=4\pi r_o^2 = 4\pi(1{,}52)^2 \approx 29{,}042\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Cálculo de R_{conv,i} e R_{cond}.
  1. Resistência de convecção interna:
R_{conv,i}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{80{,}0\cdot 28{,}274\\ } \approx 4{,}42\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistência de condução através da casca esférica:
R_{cond}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\right).
Substituindo:
R_{cond}=\frac{1}{4\pi\cdot15{,}0}\left(\frac{1}{1{,}5}-\frac{1}{1{,}52}\right)\approx 4{,}65\times10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
Observação: percebe-se já que R_{cond} é muito menor que R_{conv,i}, tipicamente a convecção interna domina a queda de temperatura do lado da água.

Passo 6

Cálculo do coeficiente radiativo h_{rad} e da resistência externa equivalente R_{surf}.
Primeiro transformar temperaturas para kelvin:
T_s=5{,}0^\circ\mathrm{C}=278{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_\infty=22{,}0^\circ\mathrm{C}=295{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular h_{rad} pela fórmula linearizada:
h_{rad}=\varepsilon\,\sigma\,(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty).
Com \varepsilon=1 e \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2K^4)},
h_{rad}\approx 5{,}35\\ \mathrm{W/(m^2K)}\quad(\text{aprox. }5{,}35).
Agora a condutância total superficial é h_{c,ext}+h_{rad}=10{,}0+5{,}35\approx15{,}35\\ \mathrm{W/(m^2K)}. Portanto
R_{surf}=\frac{1}{(h_{c,ext}+h_{rad})A_o}=\frac{1}{15{,}35\cdot 29{,}042}\approx 2{,}24\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 7

Resistência equivalente total entre a água ( T_{\text{água}}á) e o ambiente ( T_\infty).
As resistências estão em série: R_{eq}=R_{conv,i}+R_{cond}+R_{surf}. Substituindo valores:
R_{eq}\approx 4{,}42\times10^{-4} + 4{,}65\times10^{-5} + 2{,}24\times10^{-3} \approx 2{,}73\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 8

Cálculo da taxa total de transferência de calor \dot{Q}.
A diferença de temperatura entre o ambiente e a água é \Delta T = T_\infty - T_{\text{água}} = 22{,}0 - 0{,}0 = 22{,}0\\ \mathrm{K}.á
Usando a resistência equivalente,
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{eq}}=\frac{22{,}0}{2{,}73\times10^{-3}}\approx 8{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a perda de calor total do ambiente para a água é cerca de 8{,}05\\ \mathrm{kW} (ou seja, se o interior está a 0^\circ\mathrm{C} e a sala a 22^\circ\mathrm{C}, essa é a potência de troca).

Resposta

(a) T_{\text{água}} - R_{conv,i} - R_{cond} - (R_{conv,ext}\parallel R_{rad}) - T_{\infty}á
(b) R_{eq}\approx 2{,}73\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}
(c) \dot{Q}\approx 8{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{W}

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