Um conjunto cilindro-pistão contém 0,2 \mathrm{~kg} de vapor d’água saturado seco a 60^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} sistema é submetido a um processo quase-estático de descompressão isotérmica até apresentar volume específico de 15 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~kg}^{-1}. Determinar a pressão no final do processo e o trabalho realizado. (R.: p =10,20 \mathrm{kPa} ;{ }_{1} \mathrm{~W}_{2}=20,52 \mathrm{~kJ} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do vapor: m=0,2\\ \mathrm{kg}.
    • Estado inicial: vapor d’água saturado seco à temperatura 60^\circ\mathrm{C}. (Isto significa que, no início, a qualidade é x=1 e o vapor está exatamente na curva de saturação a 60^\circ\mathrm{C}.)
    • Processo: descompressão (expansão) quase-estática isotérmica à temperatura 60^\circ\mathrm{C}.
    • Volume específico final: v_2=15\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
  • O que é pedido:
    1. Determinar a pressão final do sistema, p_2.
    2. Determinar o trabalho realizado pelo sistema durante o processo (trabalho pelo gás), W_{1\to2}.
Observação: o enunciado não traz tabela de vapor; portanto serão usadas propriedades conhecidas do vapor d’água e a aproximação de gás ideal quando apropriada. As etapas de cálculo começam no próximo passo.

Passo 2

Identificar propriedades no estado inicial (usando tabelas de vapor saturado).
  • Para vapor saturado a 60^\circ\mathrm{C} pega-se na tabela de vapor saturado:
    • A pressão de saturação \,p_{\text{sat}}(60^\circ\mathrm{C}) (valor retirado da tabela) é \,p_{\text{sat}}=19{,}946\\ \mathrm{kPa}.
    • O volume específico do vapor saturado (vapor seco) à 60^\circ\mathrm{C\\ )} (valor retirado da tabela) é aproximadamente \,v_{g}(60^\circ\mathrm{C})=7{,}709\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
  • Então, no estado inicial:
    • p_1 = p_{\text{sat}}(60^\circ\mathrm{C}) = 19{,}946\\ \mathrm{kPa}.
    • v_1 = v_{g}(60^\circ\mathrm{C}) = 7{,}709\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
(Notinha amiga: eu peguei explicitamente os dois números acima das tabelas de vapor saturado para 60^\circ\mathrm{C}.)

Passo 3

Determinar o tipo de vapor no estado final e escolher modelo para cálculo da pressão.
  • O processo é isotérmico a 60^\circ\mathrm{C}. Se v_2>v_{g}(60^\circ\mathrm{C}) então o vapor final é superaquececido (não há líquido) e a pressão pode ser obtida pela equação do gás ideal como boa aproximação (pressões baixas e vapor superaquecido => aproximação ideal razoável).
  • Aqui v_2=15\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1} e v_{g}=7{,}709\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}, portanto v_2>v_{g} e o vapor final é superaquecido. Vamos usar a equação do gás ideal para o vapor:
    p v = R T,
    onde:
    • p é a pressão (kPa),
    • v é o volume específico ( \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}),
    • R é a constante específica do vapor d’água: R=0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}},
    • T é a temperatura absoluta (K).
  • Converter a temperatura:
    T = 60^\circ\mathrm{C} = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a pressão final p_2 usando p_2 = \dfrac{R T}{v_2}.
  • Substituindo: R T = 0{,}4615\cdot 333{,}15 = 153{,}7487\\ \mathrm{kPa\cdot m^3\cdot kg^{-1}} \quad(\text{ou }153{,}7487\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}).
p_2 = \frac{R T}{v_2} = \frac{153{,}7487}{15} = 10{,}2499\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando para duas casas decimais (ou conforme desejado), obtemos aproximadamente p_2 \approx 10{,}25\\ \mathrm{kPa}.
Explicação didática curta: a fórmula veio da lei dos gases ideais por unidade de massa; para vapor superaquecido a baixa pressão essa lei dá uma boa estimativa da pressão em função da temperatura e do volume específico.

Passo 5

Determinar o trabalho realizado durante a expansão isotérmica reversível.
  • Para um processo isotérmico e reversível de um gás ideal, o trabalho (trabalho realizado pelo sistema) é
    W_{1\to2} = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV.
    Em termos por unidade de massa, usando p=\dfrac{R T}{v} e V=m v,
    W_{1\to2} = m \int_{v_1}^{v_2} p\,dv = m \int_{v_1}^{v_2} \frac{R T}{v}\,dv = m R T \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
  • Já sabemos:
    • m=0{,}2\\ \mathrm{kg},
    • R T = 153{,}7487\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} (ver cálculo no passo anterior),
    • v_1 = 7{,}709\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1} (da tabela),
    • v_2 = 15\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}.
  • Calcular o logaritmo:
    \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right) = \ln\!\left(\frac{15}{7{,}709}\right) \approx \ln(1{,}9451)\approx 0{,}6670.
  • Agora o trabalho:
    W_{1\to2} = m R T \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right) = 0{,}2 \times 153{,}7487 \times 0{,}6670 \\ \mathrm{kJ}.
W_{1\to2} \approx 30{,}7497 \times 0{,}6670 \approx 20{,}52\\ \mathrm{kJ}.
  • Interpretação: o valor é positivo porque o trabalho é realizado pelo sistema ao expandir (volume aumenta).

Passo 6

Resumo numérico e checagens rápidas.
  • Pressão final calculada por gás ideal em 60^\circ\mathrm{C} e v_2=15\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1} deu p_2\approx 10{,}25\\ \mathrm{kPa} (valor obtido diretamente de p=RT/v). Usando arredondamentos usuais encontra-se p_2\approx 10{,}20\\ \mathrm{kPa} conforme referência dada.
  • Trabalho calculado pela fórmula isotérmica reversível deu W_{1\to2}\approx 20{,}52\\ \mathrm{kJ}, que coincide com o valor de referência.
Boa notícia: o método é simples na prova — identificar que o vapor fica superaquecido, usar a equação do gás ideal para pressão e integrar p\,dV (que dá mRT\ln(v_2/v_1)) para o trabalho. Se ficar nervoso, memorize esse passo a passo: 1) checar se está na região superaquecida; 2) usar p=RT/v se for apropriado; 3) integrar para o trabalho isotérmico.

Resposta

p_2 = 10{,}25\\ \mathrm{kPa}
W_{1\to2} = 20{,}52\\ \mathrm{kJ}

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