Água e ar estão separados por uma parede plana de aço doce. Propõe-se aumentar a taxa de transferência de calor entre esses fluidos por meio da adição de aletas retas, de 1,27 \mathrm{~mm} de espessura e 2,5 \mathrm{~cm} de comprimento, espaçadas por 1,27 \mathrm{~cm}. Os coeficientes de transferência de calor no lado do ar e no lado da água são constantes e iguais, respectivamente, a 11,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e 256 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas em ambos os lados.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a taxa total de transferência de calor através de uma parede entre água e ar nas duas situações: sem aletas e com aletas colocadas em ambos os lados. Precisamos determinar a variação percentual na transferência total quando as aletas são colocadas em ambos os lados.
Informações fornecidas (peguei todos os números do enunciado):
  • Espessura da aleta: t = 1{,}27\\ \mathrm{mm} = 0{,}00127\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da aleta (projeção a partir da superfície): L = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Espaçamento entre aletas (passo): s = 1{,}27\\ \mathrm{cm} = 0{,}0127\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de convecção do ar: h_{\mathrm{ar}} = 11{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Coeficiente de convecção da água: h_{\mathrm{água}} = 256\\ \mathrm{W/m^{2}K}á.
O que é pedido:
  • Calcular a variação percentual da transferência total de calor (aumento ou redução em porcentagem) quando as aletas são colocadas em ambos os lados da parede, comparado ao caso sem aletas.
Observação importante (necessária para resolver): o enunciado não dá a condutividade térmica do aço doce nem a espessura da parede. Para poder calcular a eficiência das aletas (que dependem da condutividade do material da aleta), vou assumir um valor típico de condutividade térmica para aço doce e também vou assumir que a resistência por condução através da parede plana é desprezível em comparação com as resistências de convecção (isso é razoável quando a parede é de metal com alta condutividade e a principal limitação é a convecção em ar/água). Assim uso:
  • Condutividade térmica do aço doce: k = 54\\ \mathrm{W/m\! \cdot K} (valor típico assumido).

Passo 2

Estratégia de solução e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar e de forma prática):
  • Sem aletas: a resistência térmica total por unidade de área projetada é a soma das resistências convectivas dos dois lados (a parede metálica tem condução desprezível), logo a condutância global por unidade de área (coeficiente global) é
U_{\text{sem}}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ar}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{água}}}}.á
Esse U_{\text{sem}} multiplica a diferença de temperatura entre fluidos para dar a densidade de fluxo térmico.
  • Com aletas (em ambos os lados): as aletas aumentam a área de troca do lado onde estão instaladas. Para um arranjo de aletas retas, finas e regularmente espaçadas, por unidade de área projetada a contribuição de cada lado pode ser escrita como um coeficiente efetivo h_{\text{ef}} daquele lado:
h_{\text{ef}} = h\left[\left(1-\frac{t}{s}\right) + \frac{2\eta L}{s}\right],
onde:
  • h é o coeficiente convectivo do fluido naquele lado;
  • t/s representa a fração da área projetada ocupada pela espessura da aleta (essa parte do base não está exposta ao fluido);
  • \dfrac{2L}{s} é a área lateral (duas faces) da aleta por unidade de área projetada (por unidade de profundidade 1 m);
  • \eta é a eficiência térmica da aleta (adiabatic tip approximation aproximada por \operatorname{tanh}(mL)/(mL), válida para aletas finas quando a área da ponta é pequena), que quantifica quanto da área real da aleta atua efetivamente como área de convecção;
  • m é o parâmetro da aleta, dado por
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}},
com P o perímetro da seção transversal da aleta e A_c a área da seção transversal. Para uma aleta delgada retangular de espessura t por unidade de profundidade, P\approx 2 (duas faces por unidade de profundidade) e A_c=t\cdot 1=t. Substituindo,
m=\sqrt{\dfrac{2h}{k\,t}}.
E a eficiência aproximada será
\eta \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
  • Depois de obter h_{\mathrm{ef,ar}} e h_{\mathrm{ef,água}}á, a nova condutância global por unidade de área projetada é
U_{\text{com}}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ef,ar}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{ef,água}}}}.á
  • A variação percentual pedida é
\%\Delta = 100\%\cdot\frac{U_{\text{com}}-U_{\text{sem}}}{U_{\text{sem}}}.

Passo 3

Calcular os parâmetros das aletas (detalhando cada conta para você poder fazer sem calculadora científica complicada):
Dados reescritos:
t=0{,}00127\\ \mathrm{m},\quad L=0{,}025\\ \mathrm{m},\quad s=0{,}0127\\ \mathrm{m},
h_{\mathrm{ar}}=11{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K},\quad h_{\mathrm{água}}=256\\ \mathrm{W/m^{2}K},\quad k=54\\ \mathrm{W/mK}.á
Calcular m e \eta para cada lado.
Para o ar:
m_{\mathrm{ar}}=\sqrt{\dfrac{2h_{\mathrm{ar}}}{k\,t}} =\sqrt{\dfrac{2\cdot 11{,}4}{54\cdot 0{,}00127}}.
Fazendo a conta interna:
2\cdot 11{,}4 = 22{,}8,\qquad 54\cdot0{,}00127 \approx 0{,}06858,
\frac{22{,}8}{0{,}06858}\approx 332{,}7,\qquad m_{\mathrm{ar}}\approx\sqrt{332{,}7}\approx 18{,}24\\ \mathrm{m^{-1}}.
Então
m_{\mathrm{ar}}L \approx 18{,}24\cdot0{,}025 = 0{,}456.
A eficiência aproximada:
\eta_{\mathrm{ar}}\approx\frac{\operatorname{tanh}(0{,}456)}{0{,}456}\approx\frac{0{,}427}{0{,}456}\approx 0{,}94.
(Usei \operatorname{tanh}(0{,}456)\approx 0{,}427; o quociente dá aproximadamente 0{,}94.)
Para a água:
m_{\mathrm{água}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 256}{54\cdot 0{,}00127}} =\sqrt{\dfrac{512}{0{,}06858}}\approx\sqrt{7467{,}9}\approx 86{,}45\\ \mathrm{m^{-1}}.á
m_{\mathrm{água}}L \approx 86{,}45\cdot0{,}025 = 2{,}161.á
A eficiência aproximada:
\eta_{\mathrm{água}}\approx\frac{\operatorname{tanh}(2{,}161)}{2{,}161}\approx\frac{0{,}973}{2{,}161}\approx 0{,}45.á
(Usei \operatorname{tanh}(2{,}161)\approx 0{,}973.)
Resumo intermediário:
\eta_{\mathrm{ar}}\approx 0{,}94,\qquad \eta_{\mathrm{água}}\approx 0{,}45.á

Passo 4

Calcular os coeficientes efetivos h_{\text{ef}} de cada lado usando a fórmula
h_{\text{ef}} = h\left[\left(1-\frac{t}{s}\right) + \frac{2\eta L}{s}\right].
Primeiro calcule frações geométricas simples:
\frac{t}{s}=\frac{0{,}00127}{0{,}0127}=0{,}1.
\frac{2L}{s}=\frac{2\cdot0{,}025}{0{,}0127}=\frac{0{,}05}{0{,}0127}\approx 3{,}937.
Agora para o ar:
h_{\mathrm{ef,ar}}=11{,}4\left[ \left(1-0{,}1\right) + 3{,}937\cdot 0{,}94 \right].
Calcule os termos:
1-0{,}1=0{,}9,\qquad 3{,}937\cdot0{,}94\approx 3{,}690.
\text{colchete}=0{,}9+3{,}690=4{,}590.
h_{\mathrm{ef,ar}}\approx 11{,}4\cdot 4{,}590 \approx 52{,}33\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Para a água:
h_{\mathrm{ef,água}}=256\left[ 0{,}9 + 3{,}937\cdot 0{,}45 \right].á
3{,}937\cdot0{,}45\approx 1{,}772,\qquad \text{colchete}=0{,}9+1{,}772=2{,}672.
h_{\mathrm{ef,água}}\approx 256\cdot 2{,}672 \approx 683{,}6\\ \mathrm{W/m^{2}K}.á

Passo 5

Calcular os coeficientes globais sem e com aletas e então a variação percentual.
Sem aletas:
U_{\text{sem}}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ar}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{água}}}} =\frac{1}{\dfrac{1}{11{,}4}+\dfrac{1}{256}}.á
Calcule:
\frac{1}{11{,}4}\approx 0{,}08772,\qquad \frac{1}{256}=0{,}00390625,
\text{soma}=0{,}08772+0{,}00390625\approx 0{,}09162625,
U_{\text{sem}}\approx \frac{1}{0{,}09162625}\approx 10{,}92\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Com aletas em ambos os lados:
U_{\text{com}}=\frac{1}{\dfrac{1}{h_{\mathrm{ef,ar}}}+\dfrac{1}{h_{\mathrm{ef,água}}}} =\frac{1}{\dfrac{1}{52{,}33}+\dfrac{1}{683{,}6}}.á
Calcule:
\frac{1}{52{,}33}\approx 0{,}01912,\qquad \frac{1}{683{,}6}\approx 0{,}001462,
\text{soma}=0{,}01912+0{,}001462\approx 0{,}020582,
U_{\text{com}}\approx \frac{1}{0{,}020582}\approx 48{,}57\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Agora a variação percentual:
\%\Delta = 100\%\cdot\frac{U_{\text{com}}-U_{\text{sem}}}{U_{\text{sem}}} =100\%\cdot\frac{48{,}57-10{,}92}{10{,}92}.
\frac{48{,}57-10{,}92}{10{,}92}=\frac{37{,}65}{10{,}92}\approx 3{,}45.
\%\Delta \approx 3{,}45\times 100\% \approx 345\%.
Interpretação simples: a adição das aletas em ambos os lados aumenta o coeficiente global de transferência de calor de cerca de 10{,}9 para 48{,}6\\ \mathrm{W/m^{2}K}, ou seja, a transferência cresce em aproximadamente 345\%. Isso acontece porque a aleta no lado do ar (onde h é pequeno) aumenta muito a área efetiva e melhora bastante a resistência dominante; a aleta no lado da água também aumenta área, mas tem menor efeito relativo porque h_{\mathrm{água}}á já era grande.

Passo 6

Observações, dicas de prova e checagens rápidas (para você ter confiança na resposta):
  • A principal hipótese usada aqui foi desprezar a resistência por condução através da parede metálica e assumir k=54\\ \mathrm{W/mK} para o aço doce. Se a parede fosse muito espessa ou de condutividade bem menor, seria necessário incluir a resistência de condução em série. Em muitos exercícios de prova, essa aproximação é aceitável quando só fornecem os h e os dados das aletas.
  • A fórmula \eta\approx \operatorname{tanh}(mL)/(mL) é a forma prática que aparece em livros para aletas retas com área da ponta desprezível; em prova cite essa aproximação e calcule mL antes para ver se é consistente (aqui deu mL pequeno no lado do ar e moderado no lado da água).
  • Se o enunciado mandar usar outro valor de k ou incluir espessura da parede, repita os cálculos com esses valores; o procedimento é o mesmo.

Resposta

Aumenta em aproximadamente 345\%.

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