1- (2 pontos) Uma bomba é usada para transportar água para um reservatório, e a menor pressão que ocorre na bomba é de 3,5 \mathrm{kPa}. Se a temperatura da água no inverno e no verão for, respectivamente, 15^{\circ} \mathrm{C} e 30^{\circ} \mathrm{C}, determine se hả risco de ocorrência de cavitação em cada uma das estações, sabendo que a pressão de vapor da água, para 5^{\circ} \mathrm{C} \leq \mathrm{T} \leq 100^{\circ} \mathrm{C}, pode ser determinada com razoável precisão por \underline{P(T)=1,68.10^{-4} T^{3}-1,01.10^{-2} T^{2}+3,53.10^{-1} T-1,44}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está destacado:
  • A menor pressão que ocorre na bomba é 3{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperaturas da água:
    • inverno: T_{\text{inv}}=15^\circ\mathrm{C}.
    • verão: T_{\text{ver}}=30^\circ\mathrm{C}.
  • A pressão de vapor da água, válida para 5^\circ\mathrm{C}\le T\le100^\circ\mathrm{C}, é dada pela expressão (assinalada no enunciado):
P(T)=1{,}68\cdot10^{-4}\,T^{3}-1{,}01\cdot10^{-2}\,T^{2}+3{,}53\cdot10^{-1}\,T-1{,}44.
  • Pergunta: determinar se há risco de cavitação no inverno e no verão.

Passo 2

O que é cavitação e como decidir se há risco (regra prática):
  • A cavitação ocorre quando a pressão local do líquido cai até o nível da pressão de vapor do líquido àquela temperatura, formando bolhas de vapor que podem colapsar e danificar a bomba.
  • Portanto, a condição de risco é:
\text{risco de cavitação} \quad\Longleftrightarrow\quad P_{\text{local,min}} \le P_{\text{vapor}}(T).çã
  • Aqui P_{\text{local,min}}=3{,}5\\ \mathrm{kPa} (dado) e P_{\text{vapor}}(T) é calculada pela fórmula dada.
  • Unidade: a fórmula devolve P(T) na mesma unidade que vamos comparar com 3{,}5\\ \mathrm{kPa}. Vamos trabalhar em \mathrm{kPa}.

Passo 3

Preparar o uso da fórmula: explicar cada termo
  • Na fórmula \;P(T)=1{,}68\cdot10^{-4}T^{3}-1{,}01\cdot10^{-2}T^{2}+3{,}53\cdot10^{-1}T-1{,}44\;:
    • T é a temperatura em graus Celsius ( ^\circ\mathrm{C}).
    • P(T) é a pressão de vapor correspondente, expressa aqui em \mathrm{kPa}.
    • Os coeficientes multiplicam potências de T; por exemplo 1{,}68\cdot10^{-4}T^{3} significa 0{,}000168\times T^{3}.
  • Procedimento para cada temperatura: calcular cada termo da soma separadamente (para evitar erro) e somar.

Passo 4

Cálculo detalhado de P(15) (temperatura do inverno):
  • Primeiro calcular potências de T: 15^{2}=225,\qquad 15^{3}=3375.
  • Calcular cada termo da fórmula: \begin{aligned} \text{termo}_1 &= 1{,}68\cdot10^{-4}\cdot3375 = 0{,}000168\cdot3375 = 0{,}567,\\[4pt] \text{termo}_2 &= -1{,}01\cdot10^{-2}\cdot225 = -0{,}0101\cdot225 = -2{,}2725,\\[4pt] \text{termo}_3 &= 3{,}53\cdot10^{-1}\cdot15 = 0{,}353\cdot15 = 5{,}295,\\[4pt] \text{termo}_4 &= -1{,}44. \end{aligned}
  • Somando os termos: P(15)=0{,}567-2{,}2725+5{,}295-1{,}44 = 2{,}1495\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando de forma razoável: P(15)\approx2{,}15\\ \mathrm{kPa}.
  • Comparação com a menor pressão da bomba: P(15)=2{,}15\\ \mathrm{kPa} < 3{,}5\\ \mathrm{kPa},logo, na condição do inverno não há risco de cavitação, porque a pressão mínima na bomba é maior que a pressão de vapor da água a 15^\circ\mathrm{C}.]

Passo 5

Cálculo detalhado de P(30) (temperatura do verão):
  • Potências de T: 30^{2}=900,\qquad 30^{3}=27000.
  • Calcular cada termo: \begin{aligned} \text{termo}_1 &= 1{,}68\cdot10^{-4}\cdot27000 = 0{,}000168\cdot27000 = 4{,}536,\\[4pt] \text{termo}_2 &= -1{,}01\cdot10^{-2}\cdot900 = -0{,}0101\cdot900 = -9{,}09,\\[4pt] \text{termo}_3 &= 0{,}353\cdot30 = 10{,}59,\\[4pt] \text{termo}_4 &= -1{,}44. \end{aligned}
  • Somando os termos: P(30)=4{,}536-9{,}09+10{,}59-1{,}44 = 4{,}596\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando de forma razoável: P(30)\approx4{,}60\\ \mathrm{kPa}.
  • Comparação com a menor pressão da bomba: P(30)=4{,}60\\ \mathrm{kPa} > 3{,}5\\ \mathrm{kPa},logo, no verão existe risco de cavitação, porque a pressão de vapor a 30^\circ\mathrm{C} é maior que a menor pressão alcançada na bomba.]

Passo 6

Interpretação prática e observações úteis para prova:
  • Resultado direto: sem risco no inverno; risco no verão.
  • Na prática de projeto, mesmo se P_{\text{local,min}} for ligeiramente maior que P_{\text{vapor}}, costuma-se adotar margens de segurança (por exemplo exigir uma pressão de entrada maior) para evitar qualquer formação de vapor ao redor de aspas localizadas.
  • Se for preciso evitar cavitação no verão, opções típicas: aumentar a pressão na sucção (elevar reservatório ou usar pré-carga), reduzir a temperatura da água, ou escolher bomba com menor queda de pressão (melhor NPSH disponível).

Resposta

Inverno ( T=15^\circ\mathrm{C} ): sem risco de cavitação, pois P(15)\approx2{,}15\\ \mathrm{kPa}<3{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Verão ( T=30^\circ\mathrm{C} ): há risco de cavitação, pois P(30)\approx4{,}60\\ \mathrm{kPa}>3{,}5\\ \mathrm{kPa}.

Exercícios relacionados