1- (2 pontos) Uma bomba é usada para transportar água para um reservatório, e a menor pressão que ocorre na bomba é de 3,5 \mathrm{kPa}. Se a temperatura da água no inverno e no verão for, respectivamente, 15^{\circ} \mathrm{C} e 30^{\circ} \mathrm{C}, determine se hả risco de ocorrência de cavitação em cada uma das estações, sabendo que a pressão de vapor da água, para 5^{\circ} \mathrm{C} \leq \mathrm{T} \leq 100^{\circ} \mathrm{C}, pode ser determinada com razoável precisão por \underline{P(T)=1,68.10^{-4} T^{3}-1,01.10^{-2} T^{2}+3,53.10^{-1} T-1,44}.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está destacado:
A menor pressão que ocorre na bomba é 3{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Temperaturas da água:
inverno: T_{\text{inv}}=15^\circ\mathrm{C}.
verão: T_{\text{ver}}=30^\circ\mathrm{C}.
A pressão de vapor da água, válida para 5^\circ\mathrm{C}\le T\le100^\circ\mathrm{C}, é dada pela expressão (assinalada no enunciado):
Pergunta: determinar se há risco de cavitação no inverno e no verão.
Passo 2
O que é cavitação e como decidir se há risco (regra prática):
A cavitação ocorre quando a pressão local do líquido cai até o nível da pressão de vapor do líquido àquela temperatura, formando bolhas de vapor que podem colapsar e danificar a bomba.
Portanto, a condição de risco é:
\text{risco de cavitação} \quad\Longleftrightarrow\quad P_{\text{local,min}} \le P_{\text{vapor}}(T).çã
Aqui P_{\text{local,min}}=3{,}5\\ \mathrm{kPa} (dado) e P_{\text{vapor}}(T) é calculada pela fórmula dada.
Unidade: a fórmula devolve P(T) na mesma unidade que vamos comparar com 3{,}5\\ \mathrm{kPa}. Vamos trabalhar em \mathrm{kPa}.
Passo 3
Preparar o uso da fórmula: explicar cada termo
Na fórmula \;P(T)=1{,}68\cdot10^{-4}T^{3}-1{,}01\cdot10^{-2}T^{2}+3{,}53\cdot10^{-1}T-1{,}44\;:
T é a temperatura em graus Celsius (^\circ\mathrm{C}).
P(T) é a pressão de vapor correspondente, expressa aqui em \mathrm{kPa}.
Os coeficientes multiplicam potências de T; por exemplo 1{,}68\cdot10^{-4}T^{3} significa 0{,}000168\times T^{3}.
Procedimento para cada temperatura: calcular cada termo da soma separadamente (para evitar erro) e somar.
Passo 4
Cálculo detalhado de P(15) (temperatura do inverno):
Primeiro calcular potências de T:15^{2}=225,\qquad 15^{3}=3375.
Calcular cada termo da fórmula:\begin{aligned} \text{termo}_1 &= 1{,}68\cdot10^{-4}\cdot3375 = 0{,}000168\cdot3375 = 0{,}567,\\[4pt] \text{termo}_2 &= -1{,}01\cdot10^{-2}\cdot225 = -0{,}0101\cdot225 = -2{,}2725,\\[4pt] \text{termo}_3 &= 3{,}53\cdot10^{-1}\cdot15 = 0{,}353\cdot15 = 5{,}295,\\[4pt] \text{termo}_4 &= -1{,}44. \end{aligned}
Somando os termos:P(15)=0{,}567-2{,}2725+5{,}295-1{,}44 = 2{,}1495\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de forma razoável: P(15)\approx2{,}15\\ \mathrm{kPa}.
Comparação com a menor pressão da bomba:P(15)=2{,}15\\ \mathrm{kPa} < 3{,}5\\ \mathrm{kPa},logo, na condição do inverno não há risco de cavitação, porque a pressão mínima na bomba é maior que a pressão de vapor da água a 15^\circ\mathrm{C}.]
Passo 5
Cálculo detalhado de P(30) (temperatura do verão):
Somando os termos:P(30)=4{,}536-9{,}09+10{,}59-1{,}44 = 4{,}596\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de forma razoável: P(30)\approx4{,}60\\ \mathrm{kPa}.
Comparação com a menor pressão da bomba:P(30)=4{,}60\\ \mathrm{kPa} > 3{,}5\\ \mathrm{kPa},logo, no verão existe risco de cavitação, porque a pressão de vapor a 30^\circ\mathrm{C} é maior que a menor pressão alcançada na bomba.]
Passo 6
Interpretação prática e observações úteis para prova:
Resultado direto: sem risco no inverno; risco no verão.
Na prática de projeto, mesmo se P_{\text{local,min}} for ligeiramente maior que P_{\text{vapor}}, costuma-se adotar margens de segurança (por exemplo exigir uma pressão de entrada maior) para evitar qualquer formação de vapor ao redor de aspas localizadas.
Se for preciso evitar cavitação no verão, opções típicas: aumentar a pressão na sucção (elevar reservatório ou usar pré-carga), reduzir a temperatura da água, ou escolher bomba com menor queda de pressão (melhor NPSH disponível).
Resposta
Inverno ( T=15^\circ\mathrm{C} ): sem risco de cavitação, pois P(15)\approx2{,}15\\ \mathrm{kPa}<3{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Verão ( T=30^\circ\mathrm{C} ): há risco de cavitação, pois P(30)\approx4{,}60\\ \mathrm{kPa}>3{,}5\\ \mathrm{kPa}.